群
定义
定义集合 \(G\) 和二元运算 \(\times\)，计为 \((G, \times)\)
满足以下性质的称为群：
- 封闭性：\(\forall a, b \in G, a \times b \in G\)
- 结合率：\(\forall a, b, c \in G, (a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
- 单位元：\(\exists e \in G, \forall a \in G, a\times e = e \times a = a\)
- 逆元 ：\(\forall a \in G, \exists a' \in G, a \times a' = a' \times a = e\)
子群
若 \(H\) 为 \(G\) 的一个子集，且 \((H, \times)\) 组成一个群，那么称 \(H\) 为 \(G\) 的一个子群，计做 \(H \le G\)。
如果 \(g \in G\):
- \(gH = g \times h, h \in H\), 那么称其为 \(H\) 在 \(G\) 内的关于 \(g\) 的左陪集。
- \(Hg = h \times g, h \in H\), 那么称其为 \(H\) 在 \(G\) 内的关于 \(g\) 的右陪集。
陪集的性质 (右陪集为例) ：
-
\(\forall g \in G, |H| = |Hg|\)
证明：因为逆元唯一，如果 \(h1 \neq h2\), 而且\(h1 \times g = p = h2 \times g\)，那么 \(h2 = p\times g' = h1\)，矛盾，因此 \(h1 \times g \neq h2 \times g\)。 -
\(\forall g \in G, g \in Hg\)
证明：\(H\) 是群，\(H\) 内一定存在一个单位元 \(e\) 满足 \(e \times g = g\)，因此 \(e \times g \in Hg \Leftrightarrow g \in Hg\)。 -
\(Hg = H \Leftrightarrow g \in H\)
证明：\(e \times g \in H\)，因此 \(g \in H\)。若 \(g \in H\)，\(Hg\) 显然为 \(H\)。 -
\(Ha = Hb \Leftrightarrow a \times b^{-1} \in H\)
证明：由性质 \(3\) 可得。 -
\(Ha \cap Hb \neq \varnothing \rightarrow Ha = Hb\)
证明：假设 \(c \in Ha, c \in Hb\)，\(\exists h1, h2\) 满足 \(h1 \times a = c, h2 \times b = c\)，\(a \times b^{-1} = h1 \times h2^{-1} \in H\)，用性质 \(4\) 可以得到。 -
\(H\) 的全体右陪集的并为 \(G\)
证明：因为 \(H\) 存在单位元 \(e\), \(g\) 取遍 \(G\) 中的每个元素。
表述：
如果 \(H \le G\) :
\(H / G\) 表示 \(H\) 的所有左陪集 \(\{gH | g \in G\}\)
\([G:H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的不同的陪集的数量。
拉格朗日定理
格朗日定理：
对于有限群 \(G\) 与有限群 \(H\) ，若 \(H\) 为 \(G\) 的子群，那么有：
\(|H| \text{整除} |G|\)
即 \(H\) 的阶整除 \(G\) 的阶。
更具体点：\(|H|\times [G:H]=|G|\)
证明： 陪集大小和为 \(|G|\), 陪集大小为 \(H\), 那么 \([G:H] = \frac{|G|}{|H|}\)
置换群
设 \(N = \{1, 2, ..., n\}\)，令 \(M\) 为 \(N\) 的一个排列(一个置换),然后定义两个置换 \(A\) 和 \(B\) 的 \(\times\) 操作的结果 \(C\) 为 \(C_i = B_{A_i}\), 让集合群 \(G = {M, \times}\)。
循环：置换 \(\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_{n - 1} & a_n\\ a_2 & a_3 & ... & a_n & a_1 \end{pmatrix}\) 称为 \(n\) 阶循环。记为 \(\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_{n - 1} & a_n \end{pmatrix}\)
将置换表示为若干循环乘积的方法：
首先在这个置换的第一行任取一个元素，比如说 \(a_1\) ，然后去 \(a_1\) 下面的元素 \(\sigma(a_1)\) ，接着取第一行 \(\sigma(a1)\) 下面的元素，以此类推，知道渠道第一行某一元素下面的元素为 \(a_1\) 时为止。如果这次是索取的元素个数小于 \(n\) 则从置换的第一行中去一个以前没有去过的元素重复以上操作，直到取遍第一行的所有元素为止。
任何一个置换都可以表示称若干个循环的乘积，且表示方法是唯一的。
轨道-稳定子定理
轨道
令 \(g(x)\) 为 \(g\) 作用于 \(x\) 上转移到的元素。
对于作用在 \(X\) 上的置换群 \(G\)，\(X\) 中的元素 \(x\) 的轨道是在群 \(G\) 的作用下能转移到的元素集合。将其记为 \(G(x)\)。形式化的，有 \(G(x) = \{g(x) | g \in G \}\)。
稳定子
稳定子被定义为 \(G^x = \{ g | g(x) = x, g \in G \}\)
轨道-稳定子定理
证明：
格朗日定理可以得出 \(|G^x| [G:G^x] = |G|\) 。
因此需证明 \([G:G^x] = |G(x)|\)。
如果 \(f(x) = g(x)\), 那么同时左乘 \(f^{-1}\)，得 \((f^{-1} g)(x) = e(x) = x \in G^x\)。由陪集的性质得 \(fG^x = gG^x\)。
因此 \(fG^x = gG^x \Leftrightarrow f(x) = g(x)\)。
于是 \(g G^x\) 和 \(g(x)\) 一一对应，可得 \([G:G^x] = |G(x)|\)。
Burnside 引理
群 \(G\) 作用在 \(X\) 的下的等价类个数 (即 \(|X / G|\)) 为 \(\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} |G^x|\)。
证明：
我们对每一个元素，若他有 \(k\) 个等价类，记 \(\frac{1}{k}\) 的贡献，加起来即为答案。
而根据轨道-稳定子定理，\(|G^x| |G(x)| = |G|\)，因此：
Pólya 定理
让 \(G = \{g_1, g_2, ..., g_n\}\) 为 \(n\) 个对象组成的置换群，用 \(m\) 种颜色染色，答案为 \(\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} m^{c(g)}\)，\(c(g)\) 表示置换 \(g\) 表示成的循环个数。
为什么？让 \(G\) 为 \(\{旋转 0 个，旋转 1 个，旋转 2 个... 旋转 n - 1 个\}\)
让 \(X\) 为初始所有可能的染色。
所以答案就是 \(\frac{1}{|G|} \sum\limits_{x \in X} G^x\)
考虑到旋转 \(k\) 个的不动点数量是 \(c(k)\)。
所以答案就是给这些不动点染色的方案，即 \(\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} m^{c(g)}\)