首先向上取整有一个证明，这个我之前写过。
推导
对于向上取整，求：
\[\sum_{i=1}^{n} \left \lceil \frac{n}{i} \right \rceil
\]
设：
\[\left \lceil \frac{n}{i} \right \rceil=m
\]
对于相同的 \(m\) ，满足：
\[i\times (m-1)< n\le i\times m
\]
\[\frac{n}{m}\le i<\frac{n}{m-1}
\]
因为 \(i\) 是整数
\[\frac{n}{m}\le i\le \frac{n-1}{m-1}
\]
所以对于当前找到的一个左端点 \(i\)，求出对应的 \(m\)，然后算出值 \(m\) 相同的区间的右端点就好了。
注意在向上取整的时候要特判 \(m=1\) 的情况，右边界为 \(n\)，不然会出现 \(\frac{n}{0}\) 导致RE。
向下取整超级简单，更好推还不用特判，对于点 \(i\)，右边界就等于：
\[\left\lfloor \frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor
\]
练习
[HAOI2011]Problem b
简单的运用。