已知序列的z变换\(X(z)\),求原序列\(x(n)\)称为z反变换
X(z)的本质
\(X(z)\)本质上是一个关于\(z\)的有理函数,可以表示一个关于\(z\)的多项式\(N(z)\)除一个关于\(z\)的多项是\(D(z)\).
\[X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{b_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0}{a_nz_n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0}
\]
令分母\(D(z)=0\),方程的解称为极点,用\(p_k\)表示
令分子\(N(z)=0\),方程的解称为零点,用\(z_k\)表示
部分分式展开法求序列
\[X(z)=\frac{N(z)}{D(z)}=\frac{b_mz^m+a_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0}{a_nz_n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0}
\]
我们可以把它转换成一些特定的式子相加,根据z变换的线性性质,我们就可以知道原本的序列
- 把\(X(z)\)分母分解成\(n\)个因式相乘
- 令\(X_1(z)=\frac{X(z)}{z}=\frac{N_1(z)}{(z-p_1)...(z-p_n)}=\frac{A_1}{z-p_1}+...\frac{A_k}{z-p_k}\)
- \(x(n)=[A_1(p_1)^n+...A_k(p_k)^n]u(n)\)