写在前面
此题数据量居然才出到\(n=40\)？？？（黑人问号）以下给出一个串长\(|S|=100,n=10^9\)的题解。
题目描述
给一个长度不超过\(m\)的01串S，问有多少个长度不超过\(n\)的01串，使得首尾接起来形成的字符串环中至少出现一次\(S\)？
数据规模：\(m \le 100, n \le 10^9\)。
简要题解
若\(n<m\)显然答案为0。
对\(|S|\)建自动机。枚举长度为\(n\)的串最后匹配到哪个状态，那么我们就从这个状态出发，求长度为\(n\)的不经过结束状态的路径数。
如果预处理转移矩阵的\(n\)次方，那么每次枚举只需求从某个状态\(i\)出发回到\(i\)的方案数，这可以O(1)从矩阵中得到。注意到从状态\(i\)出发回到状态\(i\)，那么必然从状态0出发也回到状态\(i\)，因为串长\(n\)大于等于\(m\)。最终我们就求出了所有长为\(n\)的不出现\(|S|\)的串有几个。再用\(2^n\)减它即为答案。
总时间复杂度\(O(m^3 \log n)\)。