计算复杂度-几种问题及其关系

转自：https://blog.csdn.net/golden1314521/article/details/51470999/

几种问题及其关系

首先解释一下什么是NP问题，什么是NP hard问题，什么是NP完全问题。

  • P Problem：这个应该最易理解，就是一个问题可以在Polynominal的时间的得到解决，当然，是对于任意input size。
  • NP Problem：对于一类问题，我们可能没有一个已知的快速的方法得到问题的答案，但是如果给我们一个candidate answer，我们能够在polynominal的时间内验证这个candidate answer到底是不是我们已知问题的答案，这类问题叫做NP problem。所以很显然 P Problem是NP problem的一个子集。
  • NP-hard Problem：对于这一类问题，用一句话概括他们的特征就是“at least as hard as the hardest problems in NP Problem”， 就是NP-hard问题至少和NP问题一样难。
  • NP-Complete Problem：对于这一类问题，他们满足两个性质，一个就是在polynomial时间内可以验证一个candidate answer是不是真正的解，另一个性质就是我们可以把任何一个NP问题在polynomial的时间内把他的input转化，使之成为一个NP-complete问题（即规约）。NP-Complete Problem问题可以互相转换 (在多项式时间内)，只要其中一个问题可以在多项式时间内解决，那么其他问题也都将可以在多项式时间内解决。
    计算复杂度-几种问题及其关系

规约——一种技巧

归约（reduction）： 规约是证明NP-hard问题的一种常用方法，通常用P<=Q，这个就表示P is reducible to Q , or Q is the reduction from P or P is reduced to Q（P问题可以归约到Q问题，or可以把P归约到Q） 。这里的reduction的符号可以当成是 比较难易程度的小于等于号，意味着P至少比Q容易，或者Q至少比P难。
归约主要做的就是以下两个转化（注意两个转化都要在polynomial的时间内完成）【已知Q 亦是NP-hard问题】，
1. 把P的输入转化到Q的输入；
2. 把Q的输出转化到P的输出。
下图展示了上述规约过程。其中

如何对问题证明

下面来列出了一些常见的证明问题及其证明套路。

  • 证明NP问题。这个容易，即给你一个结果，你能在polynomial的时间内验证该结果的正确性。
  • 证明NP-hard问题。我们要证明一个问题是NP-hard的时候，我们通常要做的是找到一个已被证明了的NPC问题，并把这个NPC问题归约到该问题上去（即NPC<=NP-hard）。
  • 证明NP-Complete问题。分以下两步：
    1. 第一步证明这个问题属于NP；
    2. 第二步，证明这个问题是NP-hard的。

下图列出了几个已被发现NP-Complete问题（更全面的NP-Complete问题列表，见链接A compendium of NP optimization problems，以及List of NP-complete problems），及其规约关系。可以看出所有的NP问题都可以规约到SAT(即NP<=SAT)，也就是说SAT至少与NP问题一样难，或者如果解决了3SAT问题，所有的NP问题就解决了。同样的，SAT<=3SAT，3SAT<=Independent Set，Independent Set<=Vertex Cover OR Clique。

规约关系具有传递性，所以有3SAT<=Vertex Cover，NP<=NP-Complete。 事实上，由于NP-Complete

NP-Complete间的规约例子

1. 3SAT<=Independent Set

  • 在图G中若顶点集合S满足其中的任意两个顶点之间不存在边，则称S为独立集。The input of Independent Set is a graph m的独立集).

  • 转化过程：Given an instance 3SAT problem with (G,m) of Independent Set as follows:

    • Graph G has a triangle(edge or vertex) for each clause, with vertices labeled by the clause’s literals
    • Add edge between any two vertices that represent opposite literals.
    • The goal g is set to the number of clauses.
      The graph below corresponding to
    • 假设上图有一个最大独立集，则每个三角形中有且仅有一个顶点在该独立集中，设该顶点取值为1，其余顶点取值0，则其肯定是一个满足的3SAT的赋值。

  • 容易证明该规约过程用了多项式时间。

  • 把P的输入转化到Q的输入：P的输入是包含g=m。
  • 把Q的输出转化到P的输出：Q的输出是x¯=1. 则该赋值是满足的。

2. 3SAT <= Vertex Cover

  • 图的顶点覆盖（有时是节点覆盖）是一组顶点的集合，使得图的每个边缘至少与集合中的一个顶点相连接。在这里Vertex Cover问题是给定图g的点覆盖。（我们常说的最小顶点覆盖的问题称为顶点覆盖问题，毫无疑问，它也是一个NP-Complete问题）。

  • 转化过程：

    • 按照如下方法构造Graph，对应每一个变量C连起来。
    • 下面的graph对应于
    • 若上图存在最小点覆盖，则将二元点对中在该最小点覆盖中的那一个赋值为1。则该赋值就是一个满足3-SAT的赋值。

  • 假设有n+3m+3m个边。显然可以在多项式时间完成该转换。

  • 把P的输入转化到Q的输入：P的输入是包含g=2m+n。
  • 把Q的输出转化到P的输出：Q的输出是xi=0。

3. 3SAT <= ILP

  • ILP就是Integer Linear Programming，即所有变量都要求是整数。
  • 转化过程：
    • 对于 每个clause，我们都对应于ILP中的一个constraint，比如 3SAT中有4个变量，1.
    • 3SAT问题(x1∨x¯2∨x¯3)∧(x1∨x2∨x4)对应的ILP如下：
       
      {x1+（1−x2）+（1−x3）=1x1+x2+x4=1
  • 至于input/output的转换，就如转换过程的描述，异常简单。在此不再叙述。

4. 3SAT <= Hamiltonian cycle problem

  • 转化过程：
    • 对每个变量x¯i=1，则形成从右向左的一个路径。
    • 对每个(vi,1,vi+1,1),(vi,3m+3,vi+1,3m+3),(vi,1,vi+1,3m+3),(vi,3m+3,vi+1,1)。
    • 添加两个节点(t,s)。这时得到的图中有 hamiltonian cycle，其中一个如下图的虚线所示。
    • 对于每一个clause
    • 若图xi=0。则该赋值肯定是3SAT可满足的。
  • 该转化过程要创建(3m+2)×2×n+4(n−1)+5+2m个边，是多项式时间的。
  • 把P的输入转化到Q的输入：P的输入是包含G。
  • 把Q的输出转化到P的输出：Q的输出是G的一个Hamiltonian cycle；P的输出是3SAT的一个赋值。

5. Subset sum problem <= Partition problem

  • 问题描述：
    • Subset sum problem：given a set (or multiset) of integers k。
    • Partition problem: partition problem (or number partitioning) is the task of deciding whether a given multiset W2.

  • 转化过程：

    • 给定一个子集和的实例为W，即
       
      W={T,2A−k,A+k}.
      ∑w∈Ww=4A。
    • 假设找到了W2，则有
       
      ∑w∈W1w=∑w∈W2w=2A。
      2A−k所在的子集的其它元素就是一个满足子集和问题的子集。

  • 把P的输入转化到Q的输入：P的输入是集合W={T,2A−k,A+k}.

  • 把Q的输出转化到P的输出：Q的输出是2A−k所在的子集的其它元素集合。

6. Clique problem<=Subgraph isomorphism problem

  • 问题描述
    • Clique problem：给定一个图k的团。
    • Subgraph isomorphism problem：给定两个图G2同构。
  • 转换过程：
    • 令k个顶点的完全图（即团）。
    • 如果子图同构问题的答案是肯定的，那么枚举Cnk。
  • 把P的输入转化到Q的输入：P的输入是图G2。
  • 把Q的输出转化到P的输出：Q的输出是Yes/No；P的输出是G的一个团。

7. Partition problem <= Knapsack problem

  • 问题描述：
    • Partition problem： partition problem (or number partitioning) is the task of deciding whether a given multiset W2, i.e.
       
      ∑t∈W1t=∑t∈W2t=∑t∈Wt2.
    • Knapsack problem：Given a set of items, each with a weight and a value, determine the number of each item to include in a collection so that the total weight is less than or equal to a given limit and the total value is as large as possible. 给定一个物品集合U′⊂U使得
       
      ∑u∈U′s(u)≤B,∑u∈U′w(u)≥K.
  • 转化过程：
    • For each B,K添加如下条件
       
      B=K=∑u∈Uu2，
      那么有
       
      ∑u∈U′s(u)=∑u∈U′w(u)=∑u∈Uu2。

8. Vertex Cover <=Independent Set

  • 问题描述：
    • Vertex Cover：给定一个图k的点覆盖。
    • Independent Set：给定一个图k的独立集。
  • 转化过程：
    • 把参数为|V|−k的独立集问题。
    • 若k的点覆盖。
  • 把P的输入转化到Q的输入：P的输入是图|V|−k；
  • 把Q的输出转化到P的输出：Q的输出是V−S′.

9. Independent Set <= Clique problem

  • 问题描述：
    • Independent Set：给定一个图k的独立集。
    • Clique problem：给定一个图k的团。
  • 转化过程：
    • 把k的团问题。
    • 如果找到补图k的独立集。
  • 把P的输入转化到Q的输入：P的输入是图k；
  • 把Q的输出转化到P的输出：Q的输出是补图V−S′.

10. Hamiltonian cycle problem <= Hamiltonian path problem

  • 问题描述：
    • Hamiltonian cycle problem：a graph cycle (i.e., closed loop) through a graph that visits each node exactly once
    • Hamiltonian path problem： a graph path between two vertices of a graph that visits each vertex exactly once.
  • 转化过程：
    计算复杂度-几种问题及其关系
    • 在原图G′。如上图所示。
    • 假设新图G的Hamiltonian cycle。

11. Hamiltonian cycle problem <= Traveling salesman problem

  • 问题描述：
    • Hamiltonian cycle problem：a graph cycle (i.e., closed loop) through a graph G=(V,E) that visits each node exactly once。
    • Traveling salesman problem： 即给定一个带权图k的回路。
  • 转化过程：如何得到k
    • V’=V，k=0..
    • E’为完全图的边。还要定义边的权重：
       
      w(u,v)={0,if(u,v)∈E1,if(u,v)∉E
    • 如果G的一个Hamiltonian cycle problem。

参考资料

 

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