§8-4 方差分量估计
2学时
我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。
一、赫尔默特方差分量估计公式
为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为
（函数模型） （8-4-1）
（随机模型） （8-4-2）
其误差方程为
权阵
（8-4-3）
权阵
（8-4-4）
作整体平差时，法方程为
（8-4-5）
式中
一般情况下，由于第一次给定的权、
是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为
和
，则有
（8-4-6）
但只有才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权
、
进行预平差，然后利用平差后两类观测值的
、
来求估计量
，再根据（8-4-6）式求出
，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到
为止。为此需要建立
、
与估计量
之间的关系式。
由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随机变量，已知其数学期望为
，方差阵为
，则
向量的任一二次型的数学期望可以表达为：
（8-4-7）
式中为任意q阶的对称可逆阵。
现用向量代替上式中的
向量，则其中
的应换为
，
应换为
，
阵可以换成权阵
，于是有
（8-4-8）
前面已经证明，于是有：
（8-4-9）
而
对上式应用协因数传播律得
将代入上式，整理后得
将上式代入（8-4-9）式，得
顾及矩阵迹的性质，上式可写为
同理可得
去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差也改用估值符号
表示，整理顺序后得
（8-4-10）
（8-4-11）
其矩阵形式可写为
（8-4-12）
（8-4-13）
式中
（8-4-12）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。
现将以上推导扩展至m组观测值。误差方程为
令
则得参数的估值为
按照上述类似的推导，则有
去掉期望符号，相应的单位权方差也改为用估值符号
，则有
（8-4-14）
式中
二、计算步骤
1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值；
2.进行第一次平差，求得；
3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值；
4.按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；
5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止。