ZOJ 2589 欧拉公式

题意：

给定平面上的N个圆，问整个平面被分成了几个部分。

 

题解：

欧拉公式。欧拉公式好多啊，偶像啊！！~

（ 欧拉公式 ） 设 G 是连通的平面图，n , m, r 分别是其顶点数、边数和面数，则n – m + r = 2

证：对边数 m 作数学归纳法。 
　　当 m =0 时，因 G 是连通图，所以 G 只能是平凡图，结论显然成立。 
　　假设当 m =k 时，结论成立。下面证明 m =k+1 的情况。 
　　若 G 是树，则 G 至少有两片树叶。设 v 是 G 的一片树叶。令G=G - v ，则G仍是连通图，且G的边数m=m - 1=k ，由归纳假设知，n–m+ r = 2，而n=n - 1, r=r, 于是 
n – m + r = (n+ 1) – (m+ 1) + r= n- m+ r = 2 。 
　　若 G 不是树，则 G 中含有圈。设边 e 在 G 的某个圈上。令G=G - e ，则G仍是连通图，且G的边数m=m -1=k ，由归纳假设知n–m+ r = 2, 而n=n , r=r - 1 ，于是 
　　　　n–m + r = n– (m+ 1) + (r+ 1) =n–m+ r = 2。 
　　证毕。 

 

（ 欧拉公式的推广形式 ） 对于具有 k (k ≥ 1) 个连通分支的平面图 G ，有 n – m + r = k+1 。 

 

证 设 G 的连通分支分别为 G 1 , G 2, …, G k ，并设 G i 的顶点数、边数和面数分别为 n i , m i, r i 。由欧拉公式可知 
　　

 

暴力求圆的交点，然后去重的话，貌似set可以做，不过对set还不太熟悉。回头学吧~