Day 1
T1:向量内积
直接暴力有60。发现将n个向量合成$n\times d$的矩阵$A$，然后求$A\times A^T$，得到的矩阵包含了所有的答案。
先考虑$k=2$，将答案矩阵和全1矩阵比较，为0的地方就是答案。
回忆一个十分经典的问题：判断$A\times B$是否与$C$相等。
先随机一个行向量v，若$v\times(A\times B)=v\times A \times B\neq v\times C$，则直接返回$false$。多次随机，成功率为$1-(\frac12)^{times}$。
这种随机化算法通常用于：某对命题充分性和必要性仅具备一个，所以多做几次判定就能提高正确率。$Miller-Rabin$算法就是一个典型的例子。
回到这道题，应用lych的话：
假设对于i，我们求出i之前的所有向量与i的点积的和；如果所有的点积都>0 即=1，那么显然点积的和对二取模=(i-1)%2；否则如果≠(i-1)%2，显然i与i前面的某一个向量的点积=0，我们O(ND)寻找答案即可。但 是这样不一定能得到解，我们不妨随机打乱向量的顺序然后判断，这样至少是1-(1/2)^5的正确率了。
问题在3怎么做，因为不为0可能意味着为1或2，不能确定答案，但是发现在模意义下$1^2\equiv 2^2 (mod 3)$。所以只要平方一下就好了。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) 5 using namespace std; 6 7 const int N=100010,M=110; 8 int n,m,mod,a[N][M],q[N],b[M],c[M][M]; 9 10 bool check(int x,int y){ 11 int tmp=0; 12 rep(i,1,m) tmp+=a[x][i]*a[y][i]; 13 return !(tmp%mod); 14 } 15 16 int solve(int x){ 17 int ans=0; 18 if (mod==2) 19 rep(i,1,m) ans^=b[i]&a[x][i],b[i]^=a[x][i]; 20 else 21 rep(i,1,m) rep(j,1,m) ans+=c[i][j]*a[x][i]*a[x][j],c[i][j]+=a[x][i]*a[x][j]; 22 return ans%mod; 23 } 24 25 int main(){ 26 freopen("meow.in","r",stdin); 27 freopen("meow.out","w",stdout); 28 scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod); 29 rep(i,1,n) rep(j,1,m) scanf("%d",&a[i][j]),a[i][j]%=mod; 30 rep(i,1,n) q[i]=i; 31 for (int T=7-mod; T--; ){ 32 if (mod==2) memset(b,0,sizeof(b)); else memset(c,0,sizeof(c)); 33 rep(i,2,n) swap(q[i],q[rand()%(i-1)+1]); 34 rep(i,1,n) if (solve(q[i])!=(i-1)%mod) 35 rep(j,1,i-1) if (check(q[i],q[j])){ 36 if (q[i]>q[j]) swap(i,j); 37 printf("%d %d\n",q[i],q[j]); return 0; 38 } 39 } 40 puts("-1 -1"); 41 return 0; 42 }