卡特兰数 Catalan 笔记

卡特兰数一般公式

　　令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n) = h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。

组合公式

　　Cn = C(2n,n) / (n+1)

　　(化简前 h(n) = c(2n,n)-c(2n,n+1) (n=0,1,2,...) 证明)

递归公式1

　　h(n) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

递归公式2

　　h(n) = ∑(i=0 to n-1) h(i)*h(n-i-1)

 

二.资料

　　catalan---卡特兰数(小结)

 

三.某些题

1.在圆上选择2n个等间隔的点。证明将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数等于第n个Catalan数

设方法数为g_n，分别将这些点用1，2，…，2n标记。取定点1，任选另一个偶数点2k，连接点1与点2k。该线段将圆分成K₁和K₂两部分。对K₁，有k-1对点，故有g_k-1种方法；对K₂，有n-k对点，故有g_n-k种方法。所以
   g₀=1
   令h_n=g_n-1，则
   h_n+1=h₁h_n+h₂h_n-1+…+h_nh₁  h₁=1

   所以gn=g0 gn-1 + g1 gn-1 +...+ gn-1 g0

   即 g_n=C_n

2.二叉树计数：一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态

 1 //设当前根节点为k，方案数为h[k]，左子树有k-1个节点，右子树有n-k个节点 
 2 //则 h[k]=h[k-1]*h[n-k](k=1 to n) 
 3 //Ans= h[0]h[n-1] + h[1]h[n-2] +...+ h[n-1][0]
 4 //即卡特兰数 
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cctype>
 7 using namespace std;
 8 const int N=22;
 9 
10 int n;
11 long long H[N];
12 
13 int read()
14 {
15     int now=0;bool f=0;char c=getchar();
16     for(;!isdigit(c);c=getchar())
17       if(c=='-') f=1;
18     for(;isdigit(c);c=getchar())
19       now=(now<<3)+(now<<1)+c-'0';
20     return f?-now:now;
21 }
22 
23 int main()
24 {
25     n=read();
26     H[0]=1;
27     for(int i=1;i<=n;++i)
28       H[i]=H[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
29     printf("%lld",H[n]);
30     return 0;
31 }

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