正交函数（orthogonal functions）

a map is a function. 映射即函数；

1. 双线性映射与双线性形式

bilinear map

• 基于同一定义域，将两个向量空间（V,W）中的向量映射为第三个向量空间（X）的向量的函数；

  B:V×W→X

  如此对于任意的（fixed） w∈W，则称 v↦B(v,w) 是一个从 V（任意的 v） 到 X 的映射为 linear map，线性映射；
  同理对于任意的（fixed） v∈V，则称 w↦B(v,w) 是一个从 W 到 X 的映射为 linear map;

• bilinear form

  更进一步对 bilinear map 进行约束和限制，

  V×V→K

  比如如下的一种形式，

  B(v,w)=xTAy=∑i,jxiAijyj

  本身形式上，两个同一线性空间映射到实数空间（field of scalars）；

2. 正交函数

具有双线性形式的，V×V→K，向量空间和向量空间中的向量映射为一个标量。这里的向量空间指的是，函数空间（function space），

⟨f,g⟩=∫f(x)g(x)dx

只有当积分为 0 时，也即 ⟨f,g⟩=0 时，才称两函数正交；