基本原理
蚂蚁觅食，通常是一种群体行为，当然一只小蚂蚁也是可以找到食物的， 辛苦点、慢点而已；
蚁群觅食，每只蚂蚁在经过的路上会留下一种化学物质，称为 信息素，信息素 会随着时间 逐渐 挥发，也就是说找到食物越慢，这条路上的信息素 残留 越少；
其他蚂蚁可以 感受到 信息素的存在，并且能测量信息素的浓度；
通常 蚂蚁 会 沿着 信息素 最浓的方向 行走，毕竟是前人经验嘛，这样这条路上的信息素 越来越浓；
但也会 突发奇想，试着走走 信息素没那么浓，甚至 没有信息素的路径，可能更快找到了食物，那么新路径 信息素浓度很大，也可能找不到食物，信息素挥发完毕；
如此反复，经过大量蚂蚁 重复多次的探索，最终摸索出一条 最短的 路径；当然 不一定是 全局最短，这点就不解释了；
整个过程如下图
整个过程最重要的两点就是 接下来选择哪条路 和 记录并更新每条路信息素的浓度。
状态转移概率
决定了 接下来选择哪条路；
在城市 i 时 选择 城市 j 的概率，有了所有 可选城市 的概率后，可采用 轮盘赌 等方式 选出 下一个城市；
也可采用其他方式选择下一个城市，比如 模拟退火算法代替 轮盘赌，就实现了 混合优化算法；
???????????????? 状态转移概率，代表 第????只蚂蚁在城市????选择城市????的概率；
allowed 代表 可选择的城市；
???????????? 城市???? ???? 之间存留的信息素；
????信息素启发因子，控制着信息素???????????? 对路径选择的影响程度，值越大，越依赖信息素，探索性降低，值越小，蚁群搜索的范围减少，容易陷入局部最优；
η???????? 城市 ???? ???? 之间的能见度，反映了由城市 ????到城市 ???? 的启发程度，一般取 ???????????? 的倒数；
???????????? 城市 ???? ???? 之间的距离；
????期望值启发因子，控制着η???????? 能见度的影响程度，其大小反应了在道路搜索中 先验性、确定性等因素的强弱；
????信息素挥发系数，影响信息素挥发的快慢；1-????信息素残留系数；(1-????)???????????? 在该回合前城市 ???? ???? 间残留的信息素， ∆????????????k 该回合新增的信息素；
???? 代表第????只蚂蚁；
信息素更新策略
信息素更新公式，符号意义同上
m 表示 蚂蚁数量
根据 Δ????????????k (t, t+1) 的更新方式不同，可将蚁群算法分为3类：蚁密算法、蚁量算法、蚁周算法
1. 蚁密算法（Ant-Density模型）
每只蚂蚁经过城市 i j 时，对边 eij 所贡献的信息素为常量，每个单位长度为 Q
2. 蚁量算法（Ant-Quantity模型）
每只蚂蚁在经过城市 i j 时，对边 eij 所贡献的信息素为变量，Q/dij，dij 表示 城市 i j 间的距离
3. 蚁周算法（Ant-Cycle模型）
上述两种模型，对两城市之间 eij 边上信息素贡献的增量在蚂蚁经过边的同时完成，而蚁周模型对边信息素的增量是在本次循环结束时才进行更新调整。
一只蚂蚁在经过城市i j 时，对边上信息素贡献的增量为每单位长度 Q/Lk，Lk为蚂蚁在本次循环走出路径的长度 【经测试，这里的 每单位长度 可以忽略，直接每条边 增加 Q/L 就行了】
一只小蚂蚁的寻路经历
简单起见，我们只用一只小蚂蚁觅食，原理懂了，代码只是浮云，偷个懒；
代码其实 是经典的旅行商问题，从 起点出发，经过所有城市后，回到起点，找最短路径
import cv2 as cv import numpy as np import matplotlib.pylab as plt ALPHA = 1 BETA = 1 RHO = 0.5 Q = 100. city_num = 50 ant_num = 50 distance_x = [ 178, 272, 176, 171, 650, 499, 267, 703, 408, 437, 491, 74, 532, 416, 626, 42, 271, 359, 163, 508, 229, 576, 147, 560, 35, 714, 757, 517, 64, 314, 675, 690, 391, 628, 87, 240, 705, 699, 258, 428, 614, 36, 360, 482, 666, 597, 209, 201, 492, 294] distance_y = [ 170, 395, 198, 151, 242, 556, 57, 401, 305, 421, 267, 105, 525, 381, 244, 330, 395, 169, 141, 380, 153, 442, 528, 329, 232, 48, 498, 265, 343, 120, 165, 50, 433, 63, 491, 275, 348, 222, 288, 490, 213, 524, 244, 114, 104, 552, 70, 425, 227, 331] position = list(zip(distance_x, distance_y)) distance = np.ones(shape=(city_num, city_num)) pheromone = np.ones(shape=(city_num, city_num)) for i in range(city_num): for j in range(city_num): distance[i, j] = round(np.sqrt(pow(position[i][0] - position[j][0], 2) + pow(position[i][1] - position[j][1], 2)), 1) print(distance) class ANT(object): # 蚂蚁 def __init__(self, id, start, train=False, method='Cycle'): self.id = id self.start = start # 起点 self.mile = 0 self.city_index = start self.passed = [self.city_index] # 经过的站点 index self.allowed = [True] * city_num # 可行站点 self.allowed[self.city_index] = False self.train = train self.method = method if method not in ['Density', 'Quantity', 'Cycle']: raise 'method is not supported' def select_next_city(self): # pijk p_allowed = [] city_allowed = [] for ind, city in enumerate(self.allowed): if city: # 可行走 p = pow(pheromone[self.city_index, ind], ALPHA) * pow(1 / distance[self.city_index, ind], BETA) p_allowed.append(p) city_allowed.append(ind) # 无路可走 if not p_allowed: return if self.train: # 轮盘赌 index = np.random.choice(city_allowed, size=1, replace=True, p=np.array(p_allowed) / sum(p_allowed))[0] return index else: return city_allowed[np.argmax(p_allowed)] # 最优路径 def move(self, city_index): ''' city_index: 新的站点， None 表示回到起点 ''' if city_index is not None: # city_index 可能等于0 self.allowed[city_index] = False # 新的城市不再可行 else: city_index = self.start self.passed.append(city_index) # 新的城市加入已经过序列 # 单步更新信息素 if self.train: if self.method == 'Density': pheromone[self.city_index, city_index] = pheromone[self.city_index, city_index] * RHO + Q if self.method == 'Quantity': pheromone[self.city_index, city_index] = pheromone[self.city_index, city_index] * RHO + \ Q / distance[self.city_index, city_index] self.mile += distance[self.city_index, city_index] # 更新里程 self.city_index = city_index # 更新节点 def path(self): global pheromone while 1: index = self.select_next_city() self.move(index) if index is None: # 全部节点走完 break def update_pheromone(self): # 回合更新信息素 global pheromone for ind, val in enumerate(self.passed[ :-1]): pheromone[val, self.passed[ind + 1]] = pheromone[val, self.passed[ind + 1]] * RHO \ + (Q / self.mile) # * distance[val, self.passed[ind + 1]] # 注意下面这句，表示正反权重相同，可根据实际情况调整 pheromone[self.passed[ind + 1], val] = pheromone[val, self.passed[ind + 1]] def show(path): img = np.zeros(shape=(np.max(distance_y) + 50, np.max(distance_x) + 50, 3)).astype(np.uint8) for i in position: cv.circle(img, i, 2, [0, 0, 150], 8) # 描点 cv.putText(img, '%s,%s' % i, i, cv.FONT_ITALIC, 0.3, [255, 100, 100]) cv.circle(img, position[path[0]], 4, [0, 255, 0], 8) # 起点 for ind, val in enumerate(path[ :-1]): cv.line(img, position[val], position[path[ind + 1]], [255, 255, 255], 2) # 划线 cv.imshow('temp', img) cv.waitKey(1) if __name__ == '__main__': ### test ANT # test select_next_city ant = ANT(2, 10) index = ant.select_next_city() print(index) start = 20 # 起点 miles = [] # train for _ in range(2000): ant = ANT(3, start, train=True, method='Cycle') # Density Quantity Cycle ant.path() if ant.method == 'Cycle': ant.update_pheromone() # print(pheromone) # test ant = ANT(3, start, train=False) ant.path() miles.append(ant.mile) # 收敛性 plt.plot(miles, '+-') plt.show() # 最优路径 show(ant.passed) cv.waitKey(0)
收敛速度
最优路径
特点
采用 一种 正反馈 机制，使得算法收敛
1. 每个蚂蚁可以实时改变周围环境，蚁密模型 和 蚁量模型 都是 实时改变 信息素的，单步更新，蚁周算法是 回合更新
2. 整个搜索过程每只蚂蚁完全独立，可采用分布式计算方式，提高搜索效率
3. 蚁群算法 容易陷入 局部最优，早熟现象
总结
[1]；
设置了早熟停止迭代，因此可能出现城市数与耗时不成正比的情况；
[3]（P113）比Ant-Quantity模型优，因为Ant-Cycle模型信息素的计算是不受路径中的某段路长短的影响，但现实中很少有这种奇怪性质的“病态问题”；
算法实现是比较粗糙的，如最后评价函数应该是：模型寻优次数+寻优迭代步数+运行时间，因此关于细节方面，感兴趣的同学可详读下文提供的参考文献；
优化方向
[5]等等，数不胜数；
其中贪婪式交叉、旋转交叉、混合蛙跳、DPX本人均实现过，开始的性能和寻优能力不及蚁群算法，而遗传算法组合能力是非常强的，比较容易跳出局部最优值，可优化空间大，长期迭代中，各方面指标是优于蚁群算法，因此实际工业应用场景之中主要是以启发式遗传算法为主；
启发式遗传算法不但需要有强算法能力，还需非常熟悉工业场景，直接进场的话，实现效果可能不佳，因此，长期工业应用首选启发式遗传算法，短期快速上线首选蚁群算法（ps，在路径规划专项任务下，还是蚁群算法简单好用，易于实现）；
爬山算法+蚁群算法，模拟退火和爬山算法跳出局部最优值的好帮手，而且计算快，算法组合后，性能受影响小，笔者用类似的方法解决了背包问题+商旅问题；
融合算法 也称 双层启发式算法，具体用法见我的其他博客
参考资料：
https://www.jianshu.com/p/6d16573ef675 蚁群算法
https://www.jianshu.com/p/9ef24ad65191 蚁群算法及其应用实例
https://www.jianshu.com/p/e6a20de60797 数学建模学习笔记（一） 蚁群算法（MATLAB）
https://blog.csdn.net/qq_33829154/article/details/85258615 蚁群算法
https://zhuanlan.zhihu.com/p/351466641 蚁群算法（ant colony algorithm）python实现专项解决商旅问题（TSP） 理论较强
https://www.cnblogs.com/bokeyuancj/p/11798635.html 精英蚂蚁系统
https://www.jianshu.com/p/a8acd65aba79 python3使用蚁群+邻域搜索算法解决带有起点和终点的TSP问题 代码