剑指Offer面试题：27.最小的k个数

题目：输入n个整数，找出其中最小的k个数。例如输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4。

　　这道题是典型的TopK问题，其最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，排序之后位于最前面的k个数就是最小的k个数。这种思路的时间复杂度是O(nlogn)，但是面试官会要求时间复杂度保持在O(n)。

二、解题思路

2.1 需要修改数据源的O(n)解法

　　基于快速排序中的Partition函数来解决这个问题。如果基于数组的第k个数字来调整，使得比第k个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第k个数字大的所有数字都位于数组的右边。这样调整之后，位于数组中左边的k个数字就是最小的k个数字（这k个数字不一定是排序的）。

　　But，采用这种思路是有限制的。我们需要修改输入的数组，因为函数Partition会调整数组中数字的顺序。

2.2 适合处理海量数据的O(nlogk)解法

　　可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字，接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。

　　如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；

　　如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。

　　找出这已有的k个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换当前已有的最大值；如果待插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

　　因此当容器满了之后，我们要做3件事情：一是在k个整数中找到最大数；二是有可能在这个容器中删除最大数；三是有可能要插入一个新的数字。如果用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

　　根据以上步骤，这里采用C#实现代码如下：（采用了红黑树结构作为容器，当然也可以采用堆来实现，有关红黑树的细节可以阅读yangecnu的《浅谈算法和数据结构之红黑树》）

剑指Offer面试题：27.最小的k个数

    public static void GetLeastNumbersByRedBlackTree(List<int> data, SortedDictionary<int, int> leastNumbers, int k)
    {
        leastNumbers.Clear();

        if (k < 1 || data.Count < k)
        {
            return;
        }

        for (int i = 0; i < data.Count; i++)
        {
            int num = data[i];
            if (leastNumbers.Count < k)
            {
                leastNumbers.Add(num, num);
            }
            else
            {
                int greastNum = leastNumbers.ElementAt(leastNumbers.Count - 1).Value;
                if (num < greastNum)
                {
                    leastNumbers.Remove(greastNum);
                    leastNumbers.Add(num, num);
                }
            }
        }
    }

此解法虽然要慢一点，但它有两个明显的优点：

一是没有修改输入的数据（代码中的变量data）。我们每次只是从data中读入数字，所有的写操作都是在容器leastNumbers中进行的。

二是该算法适合海量数据的输入（包括百度在内的多家公司非常喜欢与海量输入数据相关的问题）。

假设题目是要求从海量的数据中找出最小的k个数字，由于内存的大小是有限的，有可能不能把这些海量的数据一次性全部载入内存。这个时候，我们可以从辅助存储空间（比如硬盘）中每次读入一个数字，根据GetLeastNumbers的方式判断是不是需要放入容器leastNumbers即可。

这种思路只要求内存能够容纳leastNumbers即可，因此它最适合的情形就是n很大并且k较小的问题。

三、单元测试

3.1 测试用例

　　（1）封装辅助测试方法TestPortal()

    public static void TestPortal(string testName, int[] data, int[] expected, int k)
    {
        if (!string.IsNullOrEmpty(testName))
        {
            Console.WriteLine("{0} begins:", testName);
        }

        Console.WriteLine("Result for solution:");
        if (expected != null)
        {
            Console.WriteLine("Expected result:");
            for (int i = 0; i < expected.Length; i++)
            {
                Console.Write("{0}\t", expected[i]);
            }
            Console.WriteLine();
        }

        if(data == null)
        {
            return;
        }

        List<int> dataList = new List<int>();
        for (int i = 0; i < data.Length; i++)
        {
            dataList.Add(data[i]);
        }
        SortedDictionary<int, int> leastNumbers = new SortedDictionary<int, int>();
        GetLeastNumbersByRedBlackTree(dataList, leastNumbers, k);
        Console.WriteLine("Actual result:");
        foreach (var item in leastNumbers)
        {
            Console.Write("{0}\t", item.Value);
        }
        Console.WriteLine("\n");
    }

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