为什么信号的时宽带宽积是常数？

在信号处理系统中，我们都应该知道信号的时宽带宽积是一个常数，但为什么是常数呢？好像很多同学并没有去深究，今天我们就来看一下这个问题。

如果分别用 $w(n)$ 和 $W(w)$ 表示信号的时域和频域，那么可以用 $\Delta(w)$ 和 $\Delta(W)$ 来分别衡量它们的宽度，我们分别称它们为有效时域半径和有效频域半径。数值 $2\Delta(w)$ 和 $2\Delta(W)$ 称为有效时刻和有效频宽，并用 $E(w)$ 和 $E(W)$ 表示它们的中心。这里中心和半径分别表示为：

$E(w)=\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n|w(n)|^{2}}{\|w\|_{2}^{2}}$

$\Delta(w)=\sqrt{\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(n-E(w))^{2}|w(n)|^{2}}{\|w\|_{2}^{2}}}$

$E(W)=\frac{\sum_{\omega=-\infty}^{+\infty} \omega\left|W\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2}}{\|W\|_{2}^{2}}$

$\Delta(W)=\sqrt{\frac{\sum_{\omega=-\infty}^{\infty}(\omega-E(W))^{2}\left|W\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2}}{\|W\|_{2}^{2}}}$

扫盲：|| ||右下角的2表示2次范数

我们所说的时宽带宽积是常数其实被称为“不确定原理”：
若 $w(n)$ 及其傅里叶变换 $W(w)$ 满足窗口函数的条件，则

$\Delta(w) \Delta(W) \geqslant \frac{1}{2}$

等号成立的充分必要条件是 $w(n)$ 为高斯函数，即 $w(n)=A e^{-a n^{2}}$ 。

证明过程如下：

如果将 $w(n)$ 的导函数的傅里叶变换记为 $W^{\prime}(\omega)$ ，那么由傅里叶变换的性质可以得到：

$W^{\prime}(\omega)=(j \omega) W(\omega)$

再由柯西-施瓦茨不等式得：

$\begin{array}{l} \begin{aligned} (\Delta(w) \Delta(W))^{2} &=\frac{1}{\|w\|_{2}^{2}} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} n^{2}|w(n)|^{2} \cdot \frac{1}{\|W\|_{2}^{2}} \sum_{\omega=-\infty}^{+\infty} \omega^{2}|W(\omega)|^{2} \\ &=\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n^{2}|w(n)|^{2} \cdot \sum_{\omega=-\infty}^{+\infty}\left|W^{\prime}(\omega)\right|^{2}}{\|w\|_{2}^{2} \cdot\|W\|_{2}^{2}} \\ & \geqslant \frac{1}{\|w\|_{2}^{4}\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty} n w(n) w^{\prime}(n)\right|^{2}} \\ &=\frac{1}{\|w\|_{2}^{4}}\left(\frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|w(n)|^{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \end{aligned} \end{array}$