第一章矢量分析

矢量分析：
1、矢量代数
矢量用坐标分量表示： $\vec A=A_{x} \vec {e_{x}}+A_{y} \vec {e_{y}}+A_{z} \vec {e_{z}}$
$A_{x}=A\cos{\alpha}$
$A_{y}=A\cos{\beta}$
$A_{z}=A\cos{\gamma}$
$\vec A=A( \vec {e_{x}}\cos{\alpha}+\vec {e_{y}}\cos{\beta}+\vec {e_{z}}cos{\gamma})$
$\vec {e_{A}}= \vec {e_{x}}\cos{\alpha}+\vec {e_{y}}\cos{\beta}+\vec {e_{z}}cos{\gamma}$

矢量的点积： $\vec A\cdot \vec B=AB\cos\theta=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$

PS： $\vec {e_{x}} \cdot \vec{e_{y}}=\vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{z}}=\vec{e_{z}} \cdot \vec {e_{x}}=0$
$\vec {e_{x}} \cdot \vec{e_{x}}=\vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}}=\vec{e_{z}} \cdot \vec {e_{z}}=1$

矢量的叉积： $\vec A\times \vec B= \vec {e_{n}}AB\sin\theta$
用坐标分量表示： $\vec A\times \vec B= \vec {e_{x}}(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})+\vec {e_{y}}(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})+\vec {e_{z}}(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})$
写成行列式形式为：
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$若\vec A \bot \vec B，则|\vec A\times \vec B|= A B$
$若\vec A // \vec B，则|\vec A\times \vec B|= 0$
2、三大坐标系：
a:直角坐标系：

b:圆柱面坐标系：
圆柱坐标与直角坐标关系： $x=\rho \cos\varphi, y=\rho \sin\varphi, z=z$
柱坐标的导数关系：
$\vec e{_\rho}=\vec {e_{x}}\cos{\varphi}+\vec {e_{y}}\sin{\varphi}$
$\vec e{_\varphi}=-\vec {e_{x}}\sin{\varphi}+\vec {e_{y}}\cos{\varphi}$
可以得到：

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总结：

c:球面坐标系：
球坐标与直角坐标关系： $x=r\sin\theta\cos\varphi$
                       $y=r\sin\theta\cos\varphi$
                       $x=r\cos\theta$
球坐标的导数关系：
$\vec e{_r}=\vec {e_{x}} \sin{\theta}\cos{\varphi}+\vec {e_{y}}\sin{\theta}\sin{\varphi}+\vec{e_z}cos{\theta}$
$\vec e{_\theta}=\vec {e_{x}} \cos{\theta}\sin{\varphi}+\vec {e_{y}}\cos{\theta}\cos{\varphi}-\vec{e_z}sin{\theta}$
$\vec e{_\varphi}=-\vec {e_{x}} \sin{\varphi}+\vec {e_{y}}\cos{\varphi}$
可以得到：
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总结：

3、标量场的梯度
方向导数： $\frac{\partial u}{\partial l}|{_{M0}} =\lim_{\Delta{_l}\rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y}cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$
方向性导数表示场沿某方向的空间变化率：
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标量场的梯度： $\nabla u =\vec e\frac{\partial u}{\partial l}|_{max}$
梯度的计算： $\frac{\partial u}{\partial l} =\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y}cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$
            $\frac{\partial u}{\partial l} =(\vec e_x\frac{\partial u}{\partial x}+\vec e_y\frac{\partial u}{\partial y} +\vec e_z\frac{\partial u}{\partial z})\cdot(\vec e_x \cos \alpha+\vec e_y \cos \beta+\vec e_z \cos \gamma)$
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标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该电场变化最大的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。

4、矢量场的通量与散度
方向导数： $\frac{\partial u}{\partial l}|{_{M0}} =\lim_{\Delta{_l}\rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y}cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$