莫慈金数 那罗延数

莫慈金：

默慈金数的：一个给定的数的默慈金数是在一个圆上的个点间，画出彼此不相交弦的

全部方法的总数。比如为4时，方法数为9，如下图

 

                    

 

默慈金数在几何，组合数学和数论等领域中皆有其重要用途，它的递归定义如下

 

      

 

接下来是最重要的环节，来探讨上述递推公式的由来。有一篇论文有详细讲解，我已放到豆丁网上，如下

 

链接：http://www.docin.com/p1-964777006.html

 

 

其实默慈金数还有很多不同的展现方式，比如：在一个网格上，若限定每步只能向右移动一格，可以右上，右下，

横向，向右，并禁止移动到以下的地方，则以这种走法移动步从到的可能形成的路径的总数

为的默慈金数。如下图示

 

      

1.那罗延数N(n,k)的计算公式：

N(n,k) = 1/n * C(n,k) * C(n,k-1)

2.那罗延三角前八项：

n\k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1
2	1	1
3	1	3	1
4	1	6	6	1
5	1	10	20	10	1
6	1	15	50	50	15	1
7	1	21	105	175	105	21	1
8	1	28	196	490	490	196	28	1

3.应用：

在由n对"("和")"组成的字符串中，共有k对"("与")"相邻，这样的字符串一共有N(n,k)个。例如n=4,k=2时，N(n,k)=6

4.性质：

那罗延三角中每一行的和为卡特兰数，即
N(n,1) + N(n,2) + N(n,3) + ... + N(n,n) = Catalan(n)