图的匹配--二分图，一般图

最经典的二分图匹配问题：

这个问题可以像下面这样转化为图论模型来分析。我们可以像下面这样来定义无向二分图，$G=(U\cup V, E)$G=(U∪V,E)。

$U$U是代表计算机的顶点集合，$V$V代表任务的顶点集合，对于任意的$u\in U$u∈U,$v\in V$v∈V，计算机$u$u能处理任务$v$v，那我们就在$u,v$u,v之间连一条边，$(u,v)\in E$(u,v)∈E。

而$G$G中满足两两不含公共端点的边集合$M\subseteq G$M⊆G的基数$|M|$∣M∣的最大值，就是我们所要求的最大的任务个数。

图论术语中，我们将这种两两不含公共端点的边集合$M$M为匹配，而元素最多的$|M|$∣M∣称为最大匹配。当最大匹配的匹配数满足$2|M|=|V|$2∣M∣=∣V∣时，又称为完美匹配,也就是每个点都匹配上了。特别地，二分图中的匹配又称为二分图匹配。像这道题目一样，二分图匹配常常在指派问题的模型中出现。那么这道题目应该如何求解呢？

解法1：最大流模型

最大流简介，我们将二分图改成一个有向图，

将原图中的所有无向边$e$e改成有向边，方向从$U$U到$V$V容量为1。增加源点$s$s和汇点$t$t，从$s$s向所有的顶点$u\in U$u∈U连一条容量为1的边，从所有的顶点$v\in V$v∈V向$t$t连一条容量为1的边。

这样变形得到的新图$G'$G′中最大$s-t$s−t流的流量就是原二分图$G$G中最大匹配的配数，而$U-V$U−V之间流量为正的边集合就是最大匹配。该算法的复杂度为$〇(|V||E|)$〇(∣V∣∣E∣)。

解法2：匈牙利算法

盗一张网图，很久之前截下来的，忘了从哪。。。

先逐一匹配，然后有人没有妹子的时候进行回溯，看能不能腾出来一个妹子，腾到不能腾为止。


注意，对每个boy，used数组都要重新初始化，表示的是在本次寻找中是否试图更改过该girl的归属问题，如果更改成功了那么就有返回解，但是如果更改失败了，这个girl就不需要白费力气了。对男三来说，他会回溯到男2，男2此时要跳过对女2的判断，只需要向下看女3是否可以过度到他手里，如果可以就会返回true

一般图匹配

如果把这个当作一个以学生为顶点，朋友关系为边的图，就可以把这个问题转为求对应的图的最大匹配数的问题。之前的问题顶点有计算机和任务之分，所以得到的是二分图，而这里得到的却不一定是二分图。这种问题被称为一般图匹配问题，它不能像二分图一样转为最大流问题进行求解。求解一般图匹配问题可以使用Edmonds算法等高效的算法。只不Edmonds算法的实现较为复杂，所以程序设计竞赛中较少出现这类问题。如果把模型转化成了匹配问题，可以先看看事实上是否是二分图匹配，如果确实不是二分图，而用其他方法又可能行不通时，我们可以用利用Tutte矩阵来计算一般图最大匹配的匹配数。

匹配、边覆盖、独立集和顶点覆盖

注意，对二分图而言，最大匹配数目等于最小的顶点覆盖数目，因此，我们可以高效地求解二分图的最大独立集和最小顶点覆盖，事实上，这类问题也常常出现在程序设计竞赛当中。相对的，如果把问题转为一般图的最大独立集或最小顶点覆盖，则无法直接、高效地求解，有必要从其他角度重新思考。