密码学基础01 ----群

密码学笔记01----群

半群：

一个集合S满足该集合上结合律运算 $\cdot$⋅ ,叫做一个半群，表示成$(S，\cdot)$(S，⋅)

if 运算$x\cdot y$x⋅y页满足交换律，则$S$S叫做交换半群

半群S中的元素$e$e叫做幺元素。对于每个$x\in S$x∈S, 均有$xe = ex = x$xe=ex=x,具有幺元素的半群叫做含幺半群。

一个含幺半群S,元素$x \in S$x∈S是可逆的 ， 即$y \in S$y∈S,$xy = yx = e$xy=yx=e,$y$y记作$x^{-1}$x−1.

群：

此时，含幺半群$S$S变成群$G$G。若$G$G上的运算满足交换律，则$G$G叫做交换群

同态：

设$(G , \cdot)$(G,⋅)和$(G' , \ast)$(G′,∗)是两个群。映射$f:G\rightarrow G'$f:G→G′,则对任意的$a,b\in G$a,b∈G:
$f(a\cdot b) = f(a)\ast f(b)$f(a⋅b)=f(a)∗f(b)

同态：

如果同态$f$f为单射(满射)，则$f$f叫做群的单同态(满同态)

同构：

通过同态$f$f即满足单射和满射(一一对应),则$f$f叫做群$G$G到$G'$G′的同构

子群：

设$A$A是群$G$G的子集合，如果$A$A对于$G$G中运算形成(即若$a,b\in A$a,b∈A，则$a^{-1}\ in A$a−1 inA并且$ab\in A$ab∈A，则称A是G的子群，表示成$A \leq G$A≤G.如果$A \neq G$A​=G,称$A$A是$G$G的真子群，表示为$A \le G$A≤G

陪集：

设$A$A是群G的子群，则对每一个$g \in G$g∈G,

集合$Ag = \{ ag:a\in A \}$Ag={ag:a∈A}
叫做G对A的一个右陪集

不难证明：对于$g，g' \in G$g，g′∈G,则$Ag = Ag'$Ag=Ag′当且仅当$g'g^{-1}\in A$g′g−1∈A。

由此可知，任意两个右陪集或者完全相等，或者不相交。所以可以将群G分拆成一些彼此不相交的右陪集之并

$G = \cup _{g\in R}Ag$G=∪g∈R​Ag($U$U表示两两非交的右陪集之并)

其中$R$R是从每一个右陪集取一个元素而形成的代表元集合。如果$|R| = m$∣R∣=m，即可将G对于A分解成m个右陪集我们记作$[G:A] = m$[G:A]=m

例子：

群G$\{\bar{1}，\bar{2}，\bar{3}，\bar{4}\}${1ˉ，2ˉ，3ˉ，4ˉ}其中$1^{-1} = 1$1−1=1,$2^{-1} = 3,4^{-1} = 4$2−1=3,4−1=4

取子群A$\{\bar{1},\bar{4}\}${1ˉ,4ˉ}

取$g = \bar{1},g' = \bar{2}, g^{-1}g'\notin A$g=1ˉ,g′=2ˉ,g−1g′∈/​A,

so, $Ag = \{\bar{1},\bar{4}\},Ag'=\{\bar{2},\bar{3}\}$Ag={1ˉ,4ˉ},Ag′={2ˉ,3ˉ}，

任意两个右陪集或者完全相等，或者不相交。所以可以将群G分拆成一些彼此不相交的右陪集之并

群的阶

集合里面的个数

拉格朗日定理

$|G| = [G:A]|A|$∣G∣=[G:A]∣A∣,
设$G$G为有限群，$A$A为有限群的子群

一个6阶群可有能2阶子群，3阶子群，但不会有5节子群

正规子群：

群G的子群A叫做正规子群，是指对每一个$g \in G,gA = Ag$g∈G,gA=Ag.

我们把正规子群叫做$N$N

商群：

商群就是对正轨子群N对群Z的划分

例如：
加法群$Z$Z对于子群$mZ$mZ的商群就是模m的同余类群$Z_m$Zm​,现在用记号表示为$Z/mZ$Z/mZ

群的同态：

###之后在更新###