结构力学程序算法理论基础(四)————静定结构下的单位载荷法

在载荷作用下,静定结构的弹性位移的具体计算步骤

1)根据情况,求出结构各截面的弯矩M_p ,轴力F_Np ,剪力 F_Qp

这里的内力是由载荷引起的,故用下标P来表示

2)根据内力,求出相应的弯曲,拉伸和剪切变形

E和G分别为材料的弹性模量和剪切模量,A和I分别是杆件截面的面积和惯性矩
结构位移计算的一般公式：

积分号表示沿杆件长度积分,总和号表示对结构中各杆求和
将式(1)中的三项代入到式(2)中
即得到载荷作用下的弹性位移的一般公式:

3）特殊结构下的简化

在梁和钢架结构中，位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力影响可忽略
在桁架结构中，各杆只受轴力
在桁梁混合结构中，一些杆件受弯曲，一些杆件只受轴力
在拱的结构中，当压力线与拱的轴线相近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级时），应考虑弯曲变形和拉伸变形对位移的影响。当压力线与拱的轴线不相近时，则只需考虑弯曲变形的影响。

下面通过两个例子来说明在静定结构下单位载荷法的应用

（1）悬臂粱在均布载荷q的作用下，A端的竖向位移

实际载荷

单位载荷法


这里将ds代换为dx是因为小挠度变形的条件
剪切变形引起的位移为（对于矩形截面，k=1.2）

当梁的高跨比h/l是1/10时，则剪力影响约为弯矩影响的百分之一。故对于一般的梁可以忽略剪切变形对于位移的影响。但是当梁的高跨比h/l增大为1/2时，Δ_M/ Δ_Q增大为1/4。因此对于深梁，剪切变形对于位移的影响不可以忽略。
（2）桁架的位移计算
下图桁架受结点载荷F_p作用,F_p=ql/4,求C点的竖向位移。

求结点载荷作用下的 F_NP
为了计算方便,节点载荷取为单位值,图中给出的内力数值乘以F_P 后,即为轴力 F_NP