一起学西瓜书06 支持向量机(对偶)

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如何理解拉格朗日乘子法和KKT条件,可以看这篇文章

拉格朗日乘子法的简单介绍

拉格朗日乘子法的具体介绍可以看上面的文章,我这边就简单的说一下它的核心

概念介绍

首先简单的讲一下梯度

• 方向导数是各个方向上的导数
• 偏导数连续才有梯度存在
• 梯度的方向是方向导数中取到最大值的方向，梯度的值是方向导数的最大值
  
  可以这么理解–>梯度与等高线的切线垂直
  梯度的求法就是对方差求偏导

除此之外,我们还需要知道一下极值点的求解,比如下面的问题是求方程与原点的最短距离

很明显,我们画个圆来求解就可以了

所以在极值点,圆和曲线相切
总结一下就是

• 在极值点,圆和曲线相切
• 梯度与等高线的切线垂直

所以我们可以得到,在相切点，圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行：

拉格朗日乘子法

对于刚刚的问题,我们需要通过两个条件来求解

1. 梯度向量平行
2. $x^2y=3$x2y=3

这样才可以得出解

定义

对于我们刚刚的求 $x^2y=3$x2y=3曲线到原点最近点的问题,可以转换成拉格朗日乘子法的形式求解
其中f就是$x^2+y^2=0$x2+y2=0
约束g就是 $x^2y=3$x2y=3
求解过程如下,先列出方程组,再将偏导带入,为了便于理解,我手写了一遍

可以把上面的方程转化为L 求它的最小值

多约束条件

不等式的约束条件可以转换为等号

KKT条件

这是一种比较普遍的写法,

了解完这些,我们来看看我们的问题 对偶问题

对偶问题

这是我们之前计算得到的间隔
一起学西瓜书06 支持向量机(基本概念+间隔)

下面把它转化为拉格朗日函数

对w和b求偏导为0
下面是我推导的求偏导过程

我们只需要把求解出的w和b带入回原来的式子就可以了
下面的λ就是我们上面的a

得到如下的结果


对于函数的求解书上提到了SMO算法
这个算法的核心思想如下