参考文献：《Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter》
本系列文章主要参考Sola的四元数动力学论文进行学习总结，便于自己查看，仅供参考。
2.1 3D旋转向量
如图所示，向量x绕轴u旋转角度，得到向量
。
首先将向量x分为：，其中：
。
由于平行与u，旋转后其大小方向不变，对于
，则在平面上进行了旋转，构建基底{
}:
则：。于是：
上式即为：向量旋转公式，等价与基于角轴的旋转。
2.2 SO(3)旋转群
旋转的性质：1. 模不变 2.夹角不变 3.向量的方向不变
旋转矩阵与四元数的对比：
2.3 旋转群与旋转矩阵
，
2.3.1 指数映射
对时间的导数：
，
，ODE:
2.3.3 旋转矩阵与旋转向量：罗德里格斯公式
两个等式：
则：
根据sin/cos的泰勒展开式,整理得：
即：
。
2.3.4 对数映射
，
2.3.5 旋转
2.4 旋转群与四元数
2.4.1 指数映射
，
，
，
，
，
2.4.3 四元数与旋转向量
2.4.4 对数映射
，
，
，
2.4.5 旋转
2.4.6 SO(3)上的double cover
四元数q与identity q间的夹角=角轴
/2
注意：纯虚四元数 与 角轴向量
的区别
2.5 旋转矩阵与四元数
性质：
2.7 线性插值
方法一：
1.计算两者间的增量：，
2.对增量进行 Log映射：
3.进行线性采样：
4.进行Exp映射：
5.插值变换：
，
，
类比于旋转矩阵：
，
。
方法二：
方法三：
总结：本章主要介绍了四元数与旋转矩阵的联系，关注以下几点：
1. R，q对时间的导数（由约束条件导出）
2.指数/对数映射（纯虚四元数与角轴）
3.逆，乘积 （用于计算变换，插值与扰动）
4.由指数映射推导出的旋转（泰勒展开式）
5.插值
本章完。