论文原名<Rotational Projection Statistics for 3D Local Surface Description and ObjectRecognition>
此处只将原文中关于ROPS描述子的原理进行了翻译，部分综述、实验以及recognition请参考原文。
说明：ROPS是一种基于mesh的局部特征描述子，其主要应用为物体识别，所以在此之前应进行三角网格重建，以下内容皆基于此基础上进行。
翻译内容如下：
1.主要内容
本文提出了一种描述性强、鲁棒性（稳健性）强的特征描述方法和一种高效的三维目标识别算法。本文首先针对局部特征描述和目标识别提出了一种独特的、可重复的、鲁棒的LRF。通过对局部表面上所有点的散射矩阵进行特征值分解，结合符号消歧技术，构造了LRF。然后提出了一种新的特征描述，即旋转投影统计（ROPS）。
（i）利用局部上的所有点构建一个更稳健的LRF
（ii）ROPS：点云旋转投影到三个坐标平面，编码点云分别统计信息
（iii）基于LRF和ROPS的3D识别算法
2.LRF的构建
文章建立的LRF使用全部的点云，坐标轴由局部表面所有点构成的scatter matrix的特征值分解决定，通过将方向对齐大多数散点消除轴的正负号歧义。
2.1轴系建立
假设特征点p和一个支持半径r，以r做球体，包含在球体中的网格作为局部表面网格S，S包括N个三角形M个顶点，第i个三角形包括pi1,pi2,pi3位于三角形上的点可以如下表示：
0 ≤ s, t ≤ 1, and s + t ≤ 1，如下图所示
第i个三角形上所有点的scatter matrixCi可以如下表示，
使用pi的等式代入可得Ci
S的总的散布矩阵C是所有三角形带权Ci之和
N是S中三角形的个数，wi1是第i个三角形的S的面积之比，为了增强不同网格分辨率的稳健性，×号代表叉乘
wi2表示特征点p到第i个三角形质心的距离，增强噪声的稳健性
分解C的特征向量
CV = EV
E是C的特征值a1，a2，a3的对角阵，V是a1，a2，a3由大到小所对应的特征向量，但是V的正负号是一个问题。
2.2符号消歧
为了避免LRF的符号歧义性，每个特征向量应指向scatter vectors的主方向（scatter vectors：由p点指向局面表面的所有点构成），因此每个特征向量的符号由特征向量和scatter vectors内积的符决定，定义一个v1~，
sign（.）表示提取实数正负号的函数
v2~=v3~×v1~，v1~，v2~，v3~分别表示X,Y,Z轴，p表示原点，这样就可以构建一个LRF了。
3.ROPS描述子
在p点给定一个support radius ，可以得到一个局部表面，我们已经定义了p的lrf，局部曲面s中三角形的顶点构成点云q。将点集相对于LRF变换实现旋转不变性（rotation invariance）具体做法如下：
先将点集绕x轴旋转一定角度，然后分别投影到XY,XZ,YZ平面（类似三视图，可以还原物体）记录下来。
将投影点集合在一个矩形中，并分成L*L个bins，计算每个bin中的点数，然后得到一个L*L的矩阵d，将d称为分布矩阵，d代表相邻点的二维分布，将d归一化，使所有bins之和等于1，以实现不同网格分辨率的不变性。
对分布矩阵d进行压缩，d的统计量包括中心矩和香农熵。
d的m+n阶中心矩定义如下：
香农熵：
用中心矩和香农熵表示统计量，一共三个平面的统计量构成一个特征函数fx，fx表示表示绕x轴的第k次旋转的总统计数据。
点集分别绕X,Y,Z旋转一系列角度，会得到一系列的fx，fy，fz，总的特征描述子是关于三者的函数f
spinimage是通过使用圆柱形参数化将局部表面投影到二维平面上生成的。同样，通过从垂直于曲面的视点渲染局部曲面来获取snapshot。我们的ROPS在几个方面与这些方法不同。首先，ROPS表示一组视点的局部曲面，而不是一个视图（如自si和ss）。第二，ROPS与一个唯一且无歧义的的LRF相关联，并且它对旋转是不变的。相比之下，si丢弃圆柱形角度信息，ss容易旋转。第三，ROPS比si和ss更紧凑，因为ROPS用一组统计信息进一步编码二维矩阵。ROPS、si和ss的典型长度分别为135、225和1600。
PS:rops四个参数，联合统计量、bins的数量L、绕轴旋转的次数T、支持半径r。
end.