马尔科夫随机场（MRF）与吉布斯分布（Gibbs）

1. 首先由两个定义，什么是马尔科夫随机场，以及什么是吉布斯分布

马尔科夫随机场：对于一个无向图模型G，对于其中的任意节点X_i，【以除了他以外的所有点为条件的条件概率】和【以他的邻居节点为条件的条件概率】相等，那么这个无向图就是马尔科夫随机场

Gibbs分布：如果无向图模型能够表示成一系列在G的最大团（们）上的非负函数乘积的形式，这个无向图模型的概率分布P(X)就称为Gibbs分布。

2. Hammersley Clifford Theorem

Hammersley Clifford Theorem理论认为，马尔科夫随机场和Gibbs分布是一致的。

也就是说：

1）Gibbs分布一定满足由node separation导致的条件独立性

2）马尔科夫随机场的概率分布一定可以表示成最大团们上的非负函数乘积形式

证明方法可以参考Proof of Hammersley-Cli®ord Theorem, Samson Cheung