最大流算法 - 标号法

标号法求最大流

图论中网络的相关概念见上篇博客

算法基本思想：
从某个初始流开始，重复地增加流的值到不能再改进为止，则最后所得的流将是一个最大流。为此，不妨将每条边上的流量设置为0作为初始流量。为了增加给定流量的值，我们必须找出从发点到收点的一条路并沿这条路增加流量。

当前流为最大流的充要条件：网络中不存在增广路
最大流最小截定理：在任何网络中，最大流的流量等于最小截集的容量。
整数流定理：在任何网络中，如果网络所有的弧容量都是整数，则存在整数最大流。

明确一点：最大流是指网络中流的值达到最大，即源的出流量或汇的入流量达到最大，每段弧都有对应的流量，而不是求网络中某个路径的流量。

把最大流算法想象成两个运输站之间运货，两个运输站之间有很多个中转站，每个中转站都有一个最大容量，站与站之间运货都有不同的运货量，而且中转站不会留货物，所以货物的总量一定等于源站的出货数或者汇站的进货数。最大流算法就是在不超过所有中转站的容量的情况下，求最大出货量/进货量以及所有中转站之间的运货量。
如下图所示，左边是容量，右边是流量，在如图所示的流中，流的值达到了最大，为13，也不存在增广路，所谓增广路就是一条从源到汇的路径，路径上的所有弧非饱和（正向）或非空（反向），即一条仍能增加流量的路。

为什么说增广路是一条仍能增加流量的路？其实不难理解，增广路的定义如上文，路径上的所有弧非饱和（正向）或非空（反向），反向弧的流量假设为n，实际上等价于为正向弧的流量为-n，因为n不能小于0，所以n=0的时候，反向弧的流量虽然达到了最小，但是把他当做正向弧的时候，流量却达到了最大。
对于一条路径而言，非饱和弧和非空弧都意味着该条路径的流量没有达到饱和。既然网络中存在一条没有达到饱和的路径，那么网络的流也没有达到最大。这就是当前流为最大流的充要条件，可用数学语言证明。

算法文字描述：
步骤0：将网络中所有弧流量全部置0
步骤1：将源的点流量设为无穷大，令u=s。
步骤2：标记 点$v_i=u$vi​=u的所有未被标记的邻点$v_j$vj​的点流量（BFS）。
标记方法：若u到邻点是正向弧，且流量小于容量，则点流量$Δ(v_j)$Δ(vj​)取前点流量$Δ(v_i)$Δ(vi​)和弧的容流量差值$C_{ij}-F_{ij}$Cij​−Fij​的较小者
若是反向弧连接，且流量大于0，则点流量$Δ(v_j)$Δ(vj​)取前点流量$Δ(v_i)$Δ(vi​)和弧流量$F_{ij}$Fij​的较小者
步骤3：若标记到了汇则转步骤4，否则任选一个刚刚被标记的点设为$u$u，转步骤2，若刚刚没有标记任何点则算法结束。（步骤2由于会执行多次，刚刚表示步骤2最近一次执行时标记的点，即$v_i$vi​的可被标记的邻点）
步骤4：从汇开始，依次回溯被标记的点，并将两点之间的弧加/减一个汇流量$Δ(t)$Δ(t)，正向则加，反向则减，回溯到源后，转步骤1。

算法符号描述：
步骤0： 设F是从源s到汇t的任意可行流，对任意$<μ,v>=<v_i,v_j>∈E$<μ,v>=<vi​,vj​>∈E，令$F_{ij}=0$Fij​=0。//从零流开始。
步骤1： 对源$s=v_0$s=v0​标记为$(s,+,Δ(s)=∞)，S=｛s｝，U=｛v_j｝,j=0,1,2,⋯,n；μ=v_i=s。$(s,+,Δ(s)=∞)，S=｛s｝，U=｛vj​｝,j=0,1,2,⋯,n；μ=vi​=s。(S表示已标记的顶点集，U未检查的顶点集，初始值为全体顶点。)
步骤2： 对$S¯$S¯(S的补)中与$μ=v_i$μ=vi​的所有邻点$v_j$vj​，有：
(1) 若$<v_i,v_j>∈E，且F_{ij}<C_{ij}$<vi​,vj​>∈E，且Fij​<Cij​，则将$v_j$vj​标记为$(v_i,+,Δ(v_j))$(vi​,+,Δ(vj​))，其中$Δ(v_j)=min⁡｛Δ(v_i),C_{ij}-F_{ij}｝，S=S∪{v_j}$Δ(vj​)=min⁡｛Δ(vi​),Cij​−Fij​｝，S=S∪vj​。
(2) 若$<v_j,v_i>∈E$<vj​,vi​>∈E，且$F_{ij}>0$Fij​>0，则将$v_j$vj​标记为$(v_i,-,Δ(v_j))$(vi​,−,Δ(vj​))，其中$Δ(v_j)=min⁡｛Δ(v_i),F_{ij}｝，S=S∪{v_j}$Δ(vj​)=min⁡｛Δ(vi​),Fij​｝，S=S∪vj​。
步骤3： 若$v_j=t∈S$vj​=t∈S，转步骤4，否则$v_j≠t$vj​​=t，令$U=U-{v_i}$U=U−vi​，若$S∩U=φ$S∩U=φ，则算法结束，当前流为最大流；否则若$S∩U≠φ$S∩U​=φ，任选$v_i∈S∩U$vi​∈S∩U，转步骤2。（实际上，S∩U就是步骤2中刚刚被标记的点）
步骤4： 令$z=t$z=t。
步骤5： 若$z$z的标记为$(g,+,Δ(z))$(g,+,Δ(z))，则$F(<g,z>)=F(<g,z>)+Δ(z)$F(<g,z>)=F(<g,z>)+Δ(z)；
若z的标记为$(g,-,Δ(z))$(g,−,Δ(z))，则$F(<z,g>)=F(<z,g>)-Δ(z)$F(<z,g>)=F(<z,g>)−Δ(z)。
步骤6： 若$g=s$g=s，则取消所有点的标号，转步骤1，否则，令$z=g$z=g，转步骤5。
标记的意义：$(v_i,+,Δ(v_j ))$(vi​,+,Δ(vj​))表示点$v_i$vi​经流量为$Δ(v_j)$Δ(vj​)的正向弧到达点$v_j$vj​
$(v_i,-,Δ(v_j ))$(vi​,−,Δ(vj​))表示点$v_i$vi​经流量为$Δ(v_j)$Δ(vj​)的反向弧到达点$v_j$vj​

符号描述可能不好理解，对照文字描述理解。

例子：（编辑太麻烦了，从word截的图）



欢迎讨论