MIT_单变量微积分_10

`1. 最大值、最小值

Ex1:
把一个长度为1 的绳子分成两段，每段围成一个正方形，求所能得到的最大的正方形面积。
$S=(\frac{x}{4})^2+(\frac{1-x}{4})^2$S=(4x​)2+(41−x​)2
$S'=0$S′=0
$S'=\frac{x}{8}-\frac{1-x}{8}=0$S′=8x​−81−x​=0
$x=\frac{1}{2}$x=21​（驻点）.
$S(\frac{1}{2})=(\frac{1}{8})^2+(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{32}$S(21​)=(81​)2+(81​)2=321​
$S(0^+)=0+\frac{1}{16}=\frac{1}{16}$S(0+)=0+161​=161​
$S(1^-)=\frac{1}{16}+0=\frac{1}{16}$S(1−)=161​+0=161​
几何表示：

Ex2:
一个无盖固定容积的盒子，使其表面积最小。

解：$v=x^2y,y=\frac{v}{x^2}, A=x^2+4xy=x^2+\frac{4v}{x}=0.$v=x2y,y=x2v​,A=x2+4xy=x2+x4v​=0.
$x^3=2v,x=2^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}(驻点)$x3=2v,x=231​v31​(驻点)
$(0&lt;x&lt;\infty)$(0<x<∞)
$A(0^{+})=(x^2+\frac{4v}{x})|_{x=0^{+}}=\infty$A(0+)=(x2+x4v​)∣x=0+​=∞
$A(\infty)=(x^2+\frac{4v}{x})|_{x=\infty}=\infty$A(∞)=(x2+x4v​)∣x=∞​=∞
$A&#x27;&#x27;=2+\frac{8v}{x^3}&gt;0$A′′=2+x38v​>0
$y=\frac{v}{x^2}=\frac{v}{2^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}}=v^{\frac{1}{3}}2^{\frac{1}{3}}$y=x2v​=231​v31​v​=v31​231​
$A=x^2+4xy=2^{\frac{7}{2}}v^{\frac{2}{3}}$A=x2+4xy=227​v32​
结论：$\frac{x}{y}=2$yx​=2

• 使用隐函数求导法：
  $V=x^2y,A=x^2+4xy$V=x2y,A=x2+4xy
  $\frac{d}{dx}(v=x^2y) \Rightarrow 0 = 2xy+x^2y&#x27;$dxd​(v=x2y)⇒0=2xy+x2y′
  $y&#x27;=\frac{-2xy}{x^2}=-\frac{2y}{x}$y′=x2−2xy​=−x2y​
  $\frac{dA}{dx}=2x+4y+4xy&#x27;=2x-4y=0$dxdA​=2x+4y+4xy′=2x−4y=0
  得出：$\frac{x}{y}=2$yx​=2