空间点到空间直线的距离求解

求解步骤

1. 已知直线上两点，根据空间直线的点向式方程求解

空间点：假设经过直线两点$A（x1，y1，z1）$A（x1，y1，z1）, $B(x2，y2，z2)$B(x2，y2，z2)，$\vec{s}(m,n,p)$s(m,n,p)为空间直线的方向向量，
则直线的方程可表示为：
$\frac{x-x1}{m}=\frac{y-y1}{n}=\frac{z-z1}{p}=t \tag{1}$mx−x1​=ny−y1​=pz−z1​=t(1)
示意图如下所示：

2. 假设直线外存在一点$C(xc,yc,zc)$C(xc,yc,zc),c点在直线上的垂足坐标为$D(xd,yd,zd)$D(xd,yd,zd)
则 ：
$\frac{xd-x1}{m}=\frac{yd-y1}{n}=\frac{zd-z1}{p}=t \tag{2}$mxd−x1​=nyd−y1​=pzd−z1​=t(2)

$\left\{\begin{matrix} xd = mt+x1\\ yd = nt+y1\\ zd = pt+z1 \end{matrix}\right.\tag{3}$⎩⎨⎧​xd=mt+x1yd=nt+y1zd=pt+z1​(3)
3 由垂线方向的方向向量$(xc-xd,yc-yd,zc-zd)$(xc−xd,yc−yd,zc−zd)和直线方向的方向向量$(m,n,p)$(m,n,p)的数量积为零，可得
$m(xc-xd)+n(yc-yd)+p(zc-zd)=0\tag{4}$m(xc−xd)+n(yc−yd)+p(zc−zd)=0(4)
由$(3),(4)$(3),(4)可得：
$t = (m*(xc-x1)+n*(yc-y1)+p*(zc-z1))/(m^{2}+n^{2}+p^{2})\tag{5}$t=(m∗(xc−x1)+n∗(yc−y1)+p∗(zc−z1))/(m2+n2+p2)(5)
4求点c到直线的距离
$d =\sqrt{(xc-xd)^{2}+(yc-yd)^{2}+(zc-zd)^{2}}\tag{6}$d=(xc−xd)2+(yc−yd)2+(zc−zd)2​(6)
将$(3),(5)$(3),(5)整合带入$(6)$(6)中即可算出d