初探计算几何

会慢慢增加例题,代码主要采用刘汝佳在蓝书上的代码。

文章目录

• 存储方法
• 代码
• 精度问题
• 代码
• 点积和叉积
• 点积
• 代码
• 叉积
• 应用
• 代码
• 旋转向量
• 代码
• 求直线的交点
• 代码
• 判断两直线是否相交
• 代码
• 求多边形的面积
• 求两圆的交点与公切线
• 交点
• 公切线
• 凸包
• 求凸包的方法
• 按极角序 (Graham扫描法)
• 按水平序 (Andrew算法)
• 常见问题
• 询问点是否在凸包内
• 动态凸包

存储方法

• 点： 直接存储坐标(x,y)
• 直线/线段: 存两个点
• 圆：圆心和半径
• 多边形： 按顺/逆时针存储点
• 向量： 把起点平移到源点，记录终点，存下来也是一个点
  向量的缩放可用(x,y)->(kx,ky)表示

注：为了避免分类和误差，避免使用解析几何

代码

struct Point {
	double x, y;
	Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};
typedef Point Vector;

精度问题

首先设一个eps(例如1e-8）

• a$=$=b: fabs(a-b)<eps
• a$\not =$̸​=b: fabs(a-b)>eps
• a$&lt;$<b: a+eps<b
• a$&gt;$>b: a<b+eps

代码

//向量+向量=向量，点+向量=点
Vector operator+(Vector A, Vector B) {
	return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y);
}
//点-点=向量
Vector operator-(Point A, Point B) {
	return Vector(A.x - B.x, A.y - B.y);
}

Vector operator*(Vector A, double p) {
	return Vector(A.x * p, A.y * p);
}
//向量/数=向量
Vector operator/(Vector A, double p) {
	return Vector(A.x / p, A.y / p);
}

bool operator<(const Point& a, const Point& b) {
	return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
}

const double eps = 1e-10;
double dcmp(double x) {
	if (fabs(x) < eps)
		return 0;
	else
		return x < 0 ? -1 : 1;
}

bool operator==(const Point& a, const Point& b) {
	return dcmp(a.x - b.x) == 0 && dcmp(a.y - b.y) == 0;
}

点积和叉积

点积

1. a $\cdot$⋅ b $=$= |a||b| $\cos \theta$cosθ ,其绝对值等于a在b上的投影模长乘上b的模长
2. (a+b)$\cdot$⋅c $=$=a$\cdot$⋅c+ b$\cdot$⋅c
3. a$\cdot$⋅b $=$= $x_1x_2+y_1y_2$x1​x2​+y1​y2​
4. a$\perp$⊥c $\Leftrightarrow$⇔ a$\cdot$⋅b $=$= 0

代码

double Dot(Vector A, Vector B) {
	return A.x * B.x + A.y * B.y;
}//点积
 
double Length(Vector A) {
	return sqrt(Dot(A, A));
}//模长 

叉积

1. a $\times$× b$=$= |a||b| $\sin \theta$sinθ, $\theta$θ表示a旋转到b经过的夹角
2. 几何意义：两个向量为相邻边构成平行四边形的面积
3. 当b在a左侧时为正(从a逆时针转到b),右侧为负
4. (a+b)$\times$×c $=$=a$\times$×c+ b$\times$×c
5. a $\times$× b $= x_1y_2-x_2y_1$=x1​y2​−x2​y1​
6. a 与 b平行 $\Leftrightarrow$⇔ a $\times$× b$=0$=0

应用

• 求平行四边形面积
• 求点到直线的距离

1. 利用叉积求出面积
2. 除以底边线段长得出高（也就是距离）

代码

double Cross(Vector A, Vector B) {
	return A.x * B.y - A.y * B.x;
}//叉积

double DistanceToLine(Point P, Point A, Point B) {
	Vector v1 = B - A, v2 = P - A;
	return fabs(Cross(v1, v2)) / Length(v1); //如果不取绝对值，得到的是有向距离
} //点到直线的距离 

旋转向量

a$=(x,y)$=(x,y)旋转 $\theta$θ 得到b
b = $(x\cos \theta - y\sin \theta,x\sin\theta+y\sin\theta)$(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ysinθ)
注：套用和角公式得到

代码

//rad是弧度
Vector Rotate(Vector A, double rad) {
   return Vector(A.x * cos(rad) - A.y * sin(rad),
                 A.x * sin(rad) + A.y * cos(rad));
}

求直线的交点

1. 用叉积求出$S_{\Delta ACD}$SΔACD​和$S_{\Delta BCD}$SΔBCD​
2. 设$l_1=AO, l_2=BO$l1​=AO,l2​=BO
3. $O = A + (B-A) \frac{S_1}{S_1+S_2}$O=A+(B−A)S1​+S2​S1​​
   注意： 需要特判AB$\times$×CD$=0$=0，即两直线是否平行(重合)

代码

//调用前保证两条直线P+tv和Q+tw有唯一交点。当且仅当Cross(v, w)非0
Point GetLineIntersection(Point P, Vector v, Point Q, Vector w) {
	Vector u = P - Q;
	double t = Cross(w, u) / Cross(v, w);
	return P + v * t;
}

判断两直线是否相交

1. 当CA$\times$×CB与DA$\times$×DB符号一样时，两直线相交
2. 由此引申，当CA$\times$×CB$&lt;0$<0时，C在线段AB的左侧
   注意：两直线重合需要特判一下坐标

代码

bool SegmentProperIntersection(Point a1, Point a2, Point b1, Point b2) {
	double c1 = Cross(a2 - a1, b1 - a1), c2 = Cross(a2 - a1, b2 - b1),
	       c3 = Cross(b2 - b1, a1 - b1), c4 = Cross(b2 - b1, a2 - b1);
	return dcmp(c1) * dcmp(c2) < 0 && dcmp(c3) * dcmp(c4) < 0;
}

求多边形的面积

已知一个简单多边形顶点逆时针顺序为$P_1,P_2……,P_n$P1​,P2​……,Pn​，那么这个多边形的面积为$\frac{1}{2}(\overrightarrow{P_n}\times \overrightarrow{P_1}\ + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\overrightarrow{P_i}\times \overrightarrow{P_{i+1}})$21​(Pn​​×P1​​ +i=1∑n−1​Pi​​×Pi+1​​)

用$S_{\Delta OCB}+S_{\Delta OBA} - S_{\Delta OAC}$SΔOCB​+SΔOBA​−SΔOAC​
注：OA$\times$×OC结果为$-S_{\Delta OAC}$−SΔOAC​

求两圆的交点与公切线

交点

$AC=r_1,BC=r_2,AB=d$AC=r1​,BC=r2​,AB=d

1. 算$\theta$θ
2. 将D旋转$\theta$θ

公切线

1. 用|AB|和|BE|算出$\theta$θ
2. 将F逆时针旋转$90\degree$90°,其他同理

凸包

一个点集的凸包就是能包围给定点的最小的凸多边形。

求凸包的方法

按极角序 (Graham扫描法)

要考虑因素较多，这里不介绍

按水平序 (Andrew算法)

1. 以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字对所有点进行排序；
2. 顺序枚举每一个点，如果该点在当前凸包前进方向的左侧则把它加入栈，否则不断退栈知道满足条件。这样就求出了下凸包；
3. 倒序枚举，求出上凸包；
4. 合并上下凸包，一边用归并排序一边用前面的方法维护当前凸包。
   时间复杂度：瓶颈在排序上
   注意：一定要按纵坐标排序

常见问题

询问点是否在凸包内

下凸包：二分处这个点在哪两个点之间，然后判断是否在这两个点的线的上面。
上凸包同理。

动态凸包