Phi-divergence

测度的绝对连续性（Absolute continuity of measures）

定义. 假设 $\mathcal{B}$B 是定义于 $X$X 的子集上的一个 $\sigma$σ-代数，$\mu, \nu$μ,ν 是 $\mathcal{B}$B 上的两个测度， 如果对于任意满足 $\mu(A)=0$μ(A)=0 的子集$A\in\mathcal{B}$A∈B，有 $\nu(A)=0$ν(A)=0，则我们称 $\nu$ν 相对于 $\mu$μ 是绝对连续的。

Radon-Nikodym定理. 如果测度 $\nu$ν 相对于 $\mu$μ 是绝对连续的，那么存在一个函数 $f\in L^1(\mu)$f∈L1(μ) 使得 $\nu=f\mu$ν=fμ，i.e.,
$\nu(A)=\int_A fd\mu \qquad \forall A\in\mathcal{B}$ν(A)=∫A​fdμ∀A∈B

$\phi$ϕ-divergence