数理统计与数据分析第三版习题第3章第16题

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题目

如果X₁是[0,1]上的均匀分布，给定X₁条件下，X₂是[0,X₁]上的均匀分布，求X₁和X₂的联合分布和边际分布

解题思路

根据题意，给定X₁条件下，X₂是[0,X₁]上的均匀分布，这是一个条件分布：
$f_{X_{2}|X_{1}}(x_{2}|x_{1})=\frac{1}{x_{1}}\quad 0\leq x_{1} \leq 1$
根据题意, $f_{X_{1}}(x_{1})=1 \quad 0\leq x_{1} \leq 1$
$\begin{aligned} f_{X_{1}X_{2}}(x_{1}x_{2})&=f_{X_{2}|X_{1}}(x_{2}|x_{1})*f_{X_{1}}(x_{1})\\ &=\frac{1}{x_{1}}*1\\ &=\frac{1}{x_{1}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} f_{X_{2}}(x_{2})&=\int_{x_{2}}^{1}f_{X_{1}X_{2}}(x_{1}x_{2}) dx_{1}\\ &=\int_{x_{2}}^{1} \frac{1}{x_{1}} dx_{1}\\ &=\left[lnx_{1}\right]_{x_{2}}^{1} \\ &=ln\frac{1}{x_{2}} \quad 0\leq x_{2} \leq x_{1} \end{aligned}$
数理统计与数据分析第三版习题第3章第16题