在进入本篇文章之前，让我们来串联一下之前几篇文章我们都说了些什么。第一篇文章中，我们说machine learning目标在于在样本空间内找到一个g来近似于目标函数f（数学表达g ≈f ,即Eout(h)≈0）。第二篇文章，我们使用了某一具体的感知机算法，来找到在训练集中能使Ein(g)≈0的hypothesis。第三篇文章，对machine learning进行了分类，并指出batch supervised binary classficition是machine learning 核心的问题。看看我们所学的，我们有了Ein(g)≈0 ,想要证明Eout(h)≈0，那么我们可以证明Eout(h)≈Ein(g)。所以在第四篇文章，我们着手于证明这个表达式，但是最后我们只能说在特定的情况下（hypothesis个数有限，训练集内样本个数很多很多的时候，有这个表达上的成立，也就是说机器根据训练集确实能学习到一些规则，这些规则可以用到服从相同概率分布的样本上，在这个程度上，机器学习有理论支撑，靠谱的！），但是很多问题，hypothesis set内个数是无穷的，这样的证明显然是不够的，而且其实在上篇文章证明中，我们忽视了重要的问题（证明上线的时候，忽视了bad data 的overlap，导致最终计算的上限偏大，这也是为什么我们可以进一步缩小上限，试图不以hypothesis 个数来表达上限，而且最好是找到一个有限值来表达上限！）那么我们就开始对之前的证明进行改造吧！
在本篇文章将引入成长函数和break point 概念，为之后证明成长函数代替M和远小于2N做准备。
从训练集看，hypothesis 种类个数有限的！
之前的证明里，忽视了对于不同的hypothesis 来说bad data可能overlap ，因此最终计算得来的上限偏大，这里的关键问题就是不同的hypothesis 却有着相同的bad data ，这说明这些不同的hypothesis 其实很相似，进而导致他们的bad data 差不多。从这里出发，我们希望对hypothesis 进行分类，由于训练集样本个数有限，因此分类的可能性是确定的，倒推回去我们知道hypothesis 种类也是有限的。我们使用不同类别的hypothesis 的bad data来计算上限，此时他们的bad data 就不会出现overlap ，我们的上限将能被更精确地表达出来！下面来具体看看在二维感知机问题上，对不同的训练集来说，hypothesis 种类的个数是多少。
这里比较特别，同样是三个样本，可是样本的不同，导致hypothesis 种类个数呈现不同，在之后的证明里，为了忽视具体的样本的差别，我们取最大的hypothesis 类别个数。
所以我们需要证明两件事，第一件之前的上限中的M为什么可以被现在的hypothesis 种类个数代替，第二件事hypothesis 种类个数代替要远小于2N,才能表明当N很大时，上限近似于0，进而Eout(h)≈Ein(g)。为便于我们的证明，引入几个符号。
mh(N) 表示给定训练集后，根据训练集所确定来的不同种类的hypothesis个数，也称作成长函数。
先来看看几个简单的给定训练集的成长函数值：break point ：第一个样本可能产生所有结果个数不等于成长函数值的训练集大小。
引入break point定义，是因为成长函数的表达与break point有关，且是多项式形式。