Rotate
由于序列aa递增,故第i+1i+1个环中的黑块最多于第ii个环中的一个黑块相连。
把黑块看作点,黑块之间有交点看作边,则我们得到了一个森林。森林的连通块个数=点数-边数。
显然点数=(a1+a+2+...+an)/2=(a_1+a+2+...+a_n)/2
考虑期望的边的数量:
对于环iii+1i+1,有以下四种情况:
黑-白,无边
白-黑,无边
黑-黑,有边
白-白,无边。
点数为ai+ai+1a_i+a_{i+1},而有边的概率为1/41/4,故期望边数为(ai+ai+1)/4(a_i+a_{i+1})/4
最后计算答案即可。

考虑期望的边的数量:
设外环分为xx块,内环分为yy块,固定y中的块的颜色,旋转外环。
内环中每个黑块连接的外环中未染色块的数量为x/y+1x/y+1个,将其中1/21/2的块染成黑色,则内环中一个黑块期望连接外环中黑块的数量为(x/y+1)/2(x/y+1)/2个,再乘以y/2y/2个黑块,则总期望为(x+y)/4(x+y)/4

未染色的块为x/y+1x/y+1是因为边界未重合,两边边界重合的情况为x/yx/y个。
考虑边界恰好重合的情况,把1/y1/y的区域划分为nn块,边界重合的概率为1/n1/n,因为可以只旋转一丁点,所以nn可以无穷划分,limn1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0

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