带权并查集理解

前言：这几天做了几个带权并查集的问题，看了网上的大量博客，也有自己的一些理解，特地总结一下。

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文章目录

• 回顾
• 带权并查集题型特点。
• 例题:
• Bug's Life
• 食物链

回顾

理清理论的发展历史有助于了解理论，因此我们先回顾一下普通的并查集。戳这里.和这里,感谢博主带我入门

• 这里有几个值得注意的地方(也是个人做题中踩过的坑)。
  • 在包含路径压缩算法的， 调用find_father(x)后，x所在集合不一定全压缩成了两层，只有x到root的路被压缩了。如图：
    

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带权并查集题型特点。

• 带权并查集问题一般是让人推理两个实体间的关系。
  • 1、问题给出了实体间的一系列现有关系。
  • 2、问题给出了关系的推理方式。
  • 3、可以通过两个实体和父节点之间的关系推理两个节点之间的关系。
• 解题重点
  • 1、定义合理的r[i]表示节点i与其所在集合root节点之间的关系。
  • 2、数学表达式刻画路径压缩时节点和新的父节点关系的更新。
  • 3、数学表达式刻画集合合并时，两个集合父节点之间关系的确定。

例题:

Bug’s Life

题目链接
题目大意：给出一系列昆虫间的交配关系，昆虫只有雄和雌，问是否可能存在同性交配的情况。
看看问题背景:

• 1、首先该问题给出了一系列现有关系(交配关系).
• 2、问题给出了关系推理方式同同为同，异异为同，同异为异。
• 3、我们只需要记录a和b和父节点的关系，就可以直接推出a和b的关系。
  若0表示同性，1表示异性

a和父节点c关系	b和父节点c关系	a和b关系
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

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解题重点：

• 1、定义r[a]：为节点a和该集合父节点的关系。0表示同性，1表示异性.
• 2、确定路径压缩式关系的更新方式：
  • 我们知道，并查集是递归的从上向下更新的，因此在某一时刻，需要更新的节点和root只隔着一层。如图：
    

所以当节点a所在集合父节点变化时，我们可以根据r[a]和r[fa]来更新r[a]。

更新前的r[a]	r[f[a]]	更新后的r[a]
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

可以看到，我们可以根据亦或或者相加模2来刻画这样的推理逻辑。

亦或方式刻画: r[a] = r[a] ^ r[fa]
相加模2方式刻画: r[a] = (r[a] + r[fa]) % 2.

• 3、确定合并集合时，父节点间关系的更新：
  由于压缩路径的方式，合并集合时，一定是这样的情况。即a/b和fa/fb都是直接的父子关系。
  
  给出了a和b是异性，我们如何更具r[a], r[b], a和b是异性三个条件更新fa和fb的关系r[fa]呢.
  • 很明显，当采用亦或刻画关系时， 我们可以更具这个式子更新
    r[fa] = r[b]^1^r[a]
  • 当采用，当采用相加模2时，采用这个式子
    r[fa] = (r[b] + 1 + r[a]) % 2

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食物链

题目链接

• 看看问题背景。
  • 1、给出了一系列现有关系(谁吃谁，谁是谁的同类)
  • 2、给出了关系推理方式，三个种类形成一个环形食物链.
  • 3、以父节点为参照，可以推出两个实体的食物链关系.

若>好表示吃， =表示同类， <小于表示被吃

a和父节点c关系	b和父节点c关系	a和b关系
a>c	b>c	b=a
a>c	b=c	a>b
a>c	b<c	b>a
a=c	b>c	b>a
a=c	b=c	b=c
a=c	b<c	a>b
a<c	b>c	a>b
a<c	b=c	b>a
a<c	b<c	b=c

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• 解题重点：
  • 1、定义r[a]: 0表示和父节点同类，1表示吃父节点，2表示被父节点吃。
  • 2、确定路径压缩式关系的更新方式：
    所以当节点a所在集合父节点变化时，我们可以根据r[a]和r[fa]来更新r[a]。
    经过一系列枚举观察我们最终得到更新关系：
    r[a] = (r[a]+r[fa])%3
  • 3、确定合并集合时，父节点间关系的更新：
    r[fa] = (-r[a]+d-1+r[a]+3) %3。其中d表示题中给出的关系(1表示a，b为同类，2表示a吃b，更具我们的定义，我们需要将其-1).

ps:网上说可以使用向量思维，思考了很久，个人感觉这只是一个窍门，并没有办法证明出向量法的正确性。严格来说还是的枚举，不过做题时可是先试试向量思维。

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