经济模型2

$\frac{d y}{d t}+\mu y=c \lambda y^{\alpha}(0<\alpha<1)$dtdy​+μy=cλyα(0<α<1)

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+\mu y=f_{0} \lambda y^{\alpha}$dtdy​+μy=f0​λyα
$\rightarrow\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}*y^{-\alpha}+\mu y^{1-\alpha}=f_{0} \lambda$→dtdy​∗y−α+μy1−α=f0​λ
$y^{1-\alpha}=z$y1−α=z
$\frac{dz}{dt}+\mu*z=f_{0} \lambda$dtdz​+μ∗z=f0​λ

（1）我们假设$\alpha=0.5,K_0=1,L_0=1,\lambda=1,\mu=-1,f_0=1$α=0.5,K0​=1,L0​=1,λ=1,μ=−1,f0​=1
$\frac{dL}{dt}=L$dtdL​=L
$\frac{dz}{dt}-z=1,z_0=1$dtdz​−z=1,z0​=1

tspan = [0 100];
y0 = 1;
[t,y] = ode45(@(t,y) 1+y, tspan, y0);
plot(t,y,’-o’)

为了更好观察效果：

我们把区间缩短：[0-10]

tspan = [0 10];
y0 = 1;
[t,y] = ode45(@(t,y) 1+y, tspan, y0);
plot(t,y,’-o’)

这里我们采用了$1*10^4$1∗104的科学计数法

t（*10^4）	z_1(*10^4)
0.0001	0.0004
0.0001	0.0005
0.0001	0.0006
0.0002	0.0008
0.0002	0.0011
0.0002	0.0014
0.0002	0.0018
0.0003	0.0024
0.0003	0.0030
0.0003	0.0039
0.0003	0.0051
0.0004	0.0066
0.0004	0.0085
0.0004	0.0109
0.0004	0.0140
0.0005	0.0180
0.0005	0.0232
0.0005	0.0298
0.0005	0.0382
0.0006	0.0491
0.0006	0.0631
0.0006	0.0811
0.0006	0.1041
0.0007	0.1337
0.0007	0.1717
0.0007	0.2205
0.0007	0.2832
0.0008	0.3636
0.0008	0.4670
0.0008	0.5996
0.0008	0.7699
0.0009	0.9887
0.0009	1.2697
0.0009	1.6302
0.0009	2.0931
0.0010	2.6877
0.0010	3.0412
0.0010	3.4412
0.0010	3.8938
0.0010	4.4059

(3)比较数值解和解析解:

已给出解析解$\rightarrow y(t)=\left(\frac{f_{0} \lambda}{\mu}+\left(y_{0}^{1-\alpha}-\frac{f_{0} \lambda}{\mu}\right) \mathrm{e}^{-(1-\alpha) \mu t}\right)^{1 / 1-\alpha}$→y(t)=(μf0​λ​+(y01−α​−μf0​λ​)e−(1−α)μt)1/1−α
我们假设$\alpha=0.5,K_0=1,L_0=1,\lambda=1,\mu=-1,f_0=1$α=0.5,K0​=1,L0​=1,λ=1,μ=−1,f0​=1
解析解：$y(t)=(2e^{0.5t}-1)^2$y(t)=(2e0.5t−1)2

x=0:10
y=(2exp(0.5x)-1).^2
z=2exp(0.5x)-1
w=1.0e+02 * z

做变换:$y^{1-\alpha}=z,\alpha=0.5,z_1$y1−α=z,α=0.5,z1​为数值解，$z_2$z2​为解析解

t（*10^4）	z_1(*10^4)	z_2(*10^4)
0.0001	0.0004	0.0230
0.0001	0.0005	0.0230
0.0001	0.0006	0.0230
0.0002	0.0008	0.0444
0.0002	0.0011	0.0444
0.0002	0.0014	0.0444
0.0002	0.0018	0.0444
0.0003	0.0024	0.0796
0.0003	0.0030	0.0796
0.0003	0.0039	0.0796
0.0003	0.0051	0.0796
0.0004	0.0066	0.1378
0.0004	0.0085	0.1378
0.0004	0.0109	0.1378
0.0004	0.0140	0.1378
0.0005	0.0180	0.2336
0.0005	0.0232	0.2336
0.0005	0.0298	0.2336
0.0005	0.0382	0.2336
0.0006	0.0491	0.3917
0.0006	0.0631	0.3917
0.0006	0.0811	0.3917
0.0006	0.1041	0.3917
0.0007	0.1337	0.6523
0.0007	0.1717	0.6523
0.0007	0.2205	0.6523
0.0007	0.2832	0.6523
0.0008	0.3636	1.0820
0.0008	0.4670	1.0820
0.0008	0.5996	1.0820
0.0008	0.7699	1.0820
0.0009	0.9887	1.7903
0.0009	1.2697	1.7903
0.0009	1.6302	1.7903
0.0009	2.0931	1.7903
0.0010	2.6877	2.9583
0.0010	3.0412	2.9583
0.0010	3.4412	2.9583
0.0010	3.8938	2.9583
0.0010	4.4059	2.9583