论文《Sampling matters in deep embedding learning》
论文地址：https://arxiv.org/pdf/1706.07567.pdf
该论文为2017年6月上传至arxiv。主要研究的是深度嵌入学习（deep embedding learning）中的采样问题和损失函数的问题。作者分析了contrastive loss和triplet loss，提出了一种新的采样方式（distance weighted sampling）和一种新的loss function(margin based loss)。证明了训练模型时，数据的采样方式和loss function的形式对结果有着同样重要的影响。实验证明，该工作提出的方法在多个数据集上都能够得到最好的效果。
在机器学习领域，对loss function的研究已经有很多了，loss function的好坏，直接影响到模型的训练结果。作者在本文中只讨论深度嵌入学习，可以简单理解为基于深度模型的学习，之所以叫嵌入学习（embedding learning）是因为该类模型的核心思想是：建立一个嵌入空间，在该空间中，相似的样本距离近，不相似的样本距离远。
传统loss function
设f(xi)为嵌入空间中的数据点，我们的目标是使得嵌入空间中相似的点距离近，不相似的点距离远。设两样本的欧氏距离为：
对于正样本对，有yij=1，对于负样本对，则有yij=0。
Contrastive loss
其目标函数如下：
该loss的问题在于，它需要定义一个固定的a，这其实就默认了所有每类样本的分布都相同，这其实是一个很强的假设。
Triplet loss
其目标函数如下：
它使得正负例样本之间的距离尽可能接近于a，这就不管数据的分布了。它能够补足contrastive loss的缺点，使得嵌入空间可以任意扭曲。作者总结称，triplet loss超越constrative loss的原因有两个：1）constrative loss有一个固定的a，而triplet loss能够灵活适应各种空间形状，一定程度上能够抵御噪声的影响；2）triplet loss只要求正例与正例的距离小于正例与负例的距离即可，而constrative loss则还要尽量使所有的正例集中在一起，而这点是不必要的。
对于contrastive loss来说，使用hard negative mining的方法，能够使得模型收敛得更快；然而，如果使用的是triplet loss，hard negative mining很可能会模型坍塌。这里所说的hard negative mining是指：对于某些任务，比如人脸检测，直接进行采样，训练出的模型效果不会太好，因为模型可能会检测出很多假正例；因此，可以取置信度很高的为正例的真负例，与正例一起训练，这些负例就被称为hard negative mining。对于模型坍塌的问题，可以这样解释，设一个anchor样本a，负例样本n，如果对负例样本f(xn)求梯度，可得：
其中
Hard negative样本通常离anchor的距离较小，即han较小，这时如果有噪声，那么这种采样方式就很容易受到噪声的影响，从而造成训练时的模型坍塌。
由于模型坍塌的问题，FaceNet[1]提出了一种semi-hard negative mining的方法：给定一个anchor样本a，一个正例样本p，对于负例的采样，使用以下公式：
这样采样出来的负例，不至于过于hard。
Distance Weighted sampling
在现实状态下，如果同类样本是均匀分布在其各自的簇中的，如果我们对所有的样本进行两两采样，计算其距离，最终得到的点对距离分布（distribution of pairwise distances）有着如下关系：
而且，最佳的采样状态是对于分散均匀的负样本，进行均匀地采样。具体证明，可以参考论文[2]。因此，作者提出了一种新的采样方法Distance weighted sampling。给定一个anchor样本a，负例样本的选择方法如下：
如图1所示，为各种采样方法在一个模拟数据集上的结果，纵轴为数据梯度的方差。从图中可以看出，hard negative mining方法采样的样本都处于高方差的区域，如果数据集中有噪声的话，采样很容易受到噪声的影响，从而导致模型坍塌。随机采样的样本容易集中在低方差的区域，从而使得loss很小，但此时模型实际上并没有训练好。Semi-hard negative mining采样的范围很小，这很可能导致模型在很早的时候就收敛，loss下降很慢，但实际上此时模型也还没训练好；而本文提出的方法，能够实现在整个数据集上均匀采样。
图1 各种采样结果在模拟数据集上的采样结果
Margin based loss
如图2所示，为不同loss function取不同样本时损失的曲线图。可以根据constractive loss和triplet loss的公式，来理解2a和2b。这里主要观察2b，如果采样的时候采的都是hard negative 样本，即Dan的值很小，从图中可以看出，负例的梯度会非常小（也可以对目标函数进行求导，得出相同的结论），此时就会导致模型坍塌。一个简单的改进方法就是，将triplet loss中的二次项换成一次项，这时目标函数的导数固定为1，能够解决梯度消失的问题，这里其实可以类比深度学习中应用广泛的RELU**函数。
图2 loss vs pairwise distance
作者提出了一个新的目标函数Margin based loss，这个函数设计的目标是：1）能像triplet loss一样灵活；2）能够自适应不同的数据分布；3）能够像contrastive loss一样计算高效。
首先，定义一个自适应的margin：
我们称anchor样本与正例样本之间的距离为正例对距离；称anchor样本与负例样本之间的距离为负例对距离。公式中的参数beta定义了正例对距离与负例对距离之间的界限，如果正例对距离Dij大于beta，则损失加大；或者负例对距离Dij小于beta，损失加大。A控制样本的分离间隔；当样本为正例对时，yij为1，样本为负例对时，yij为-1。如图2d所示，为该目标函数的损失曲线图，与2a比较，它放松了对正例的约束。将其与2c比较，在有损失的地方，它们的导数都是1，具有良好的性质，且2d的形状不受限于数据集本身，而只与a和beta有关。
为了实现像triplet loss一样的灵活性，可以将beta设置为与样本有关的值：
其中， beta(class)称为样本偏置， beta(img)称为类别偏置。这里需要注意，第一个beta(0)是人工定义的初始值，利用梯度下降，不断调整beta(class)和beta(img)的值（就如同调整神经网络的参数）以在训练集上达到最优，这时能够得到最优的beta(class)和beta(img)（每个类一个beta(class)，每个样本一个beta(img)）。在调整beta的值的时候，可以对其整体求导
用来指导beta值的调整。从公式可以看出，beta的值似乎越大越好，其值越大，负例离anchor点的距离也就越大，不容易受到噪声的影响（上文已经提到了具体细节）。为了对beta进行规划化，需要给它一个限制，作者引入了一个超参数v，并定义:
这个v参数能够调整margin两边，违反margin数据点的数量，具体原理可见[3]中的v-trick。
实验结果
数据集：Stanford Online Products, CARS196, CUB200-2011, CASIA-WebFace, LFW.
实验：图片检索和图片聚类（Stanford Online Products, CARS196, CUB200-2011），人脸验证（CASIA-WebFace, LFW）。
模型：ResNet-50[4]
初始化参数：beta(0)=1.2,beta(class)=0,beta(img)=0.
首先，在Stanford Online Products数据集上进行实验，来测试不同loss function和采样方式对结果的影响，ResNet-50模型从头开始训练。结果如表1所示，在semi-hard采样方法中，constrastive loss和triplet loss的性能类似，而如果使用随机采样，constrastive loss的性能要差很多（triplet loss不能随机采样），这其实反证了一个结论：triplet loss的性能不仅仅来自于其自身的函数结构，也与采样方式有很大的关系。
Distance weighted采样方法对于除了constrastive loss之外的所有loss function都有加强的效果。作者称该采样方法在constrastive loss上结果差的原因是它对于超参数特别敏感，无法找到一个合适的参数。
作者也实验了pre-trained的模型效果，提升了大概10%的效果。
由于pre-trained模型效果更好，因此接下来的时候均使用该模型。如图3所示，为图片搜索的结果，可以看到本文基于margin的方法要优于triplet loss方法。
图3 图片搜索结果
作者还对比了固定的beta和本文灵活的beta对结果的影响。由表2的结果可知，灵活的beta对于结果的确是有提升的。注意，这里作者只说了beta(class)，得到了更好的效果，他也试验了beta(img)，但结果很不稳定，很有可能是过拟合的原因。因此，在实验的时候，可以只考虑beta(class)，去除beta(img)。
如图4所示，作者对loss function的稳定性进行了实验，将batch中图片的数量分为改为2和10，有结果可知，本文基于margin的方法要比triplet loss方法稳定很多。
图4 Margin loss和triplet loss稳定性对比
如图5所示，是对收敛速度的实验，其中本文算法收敛最快且效果最好，triplet loss其次，contrastive loss就要差很多了。
图5 不同loss的收敛速度对比
本文还与目前最好的图片搜索和聚类方法进行了比较，结果如表3、4、5所示，可以看到本文算法效果最好。
表6是人脸验证的结果，本文算法accuracy结果依然最好。
总结
本文主要对contrastive loss、triplet loss目标函数和各种采样策略进行了分析，结合分析结果，提出了一种新的采样方式distance weighted sampling和一种新的损失函数margin-based loss。这两种方法能够显著提高模型各方面的性能，取得了在多个数据集上至今最好的结果。有一点吐槽一下，文章的题目只提到“sampling matters”，但实际上文章的算法共两个部分：采样和损失函数。这样取名字仅仅是因为目前该领域损失函数的工作太多，采样的工作太少么？
参考文献
[1]Facenet: A unified embedding for face recognition and clustering.(CVPR2015)
[2]The sphere game in n dimensions. http://faculty.madisoncollege.edu/alehnen/sphere/hypers.htm. Accessed: 2017-02-22.
[3]New support vector algorithms. Neural computation, 2000.
[4]Deep residual learning for image recognition.(CVPR 2016)