【算法】Longest Common Sequence & Dynamic Programming

最长公共子序列问题描述.

给定两个序列【$X={x_1,x_2,x_3,…,x_i}$X=x1​,x2​,x3​,…,xi​】和【$Y={y_1,y_2,y_3,…,y_j}$Y=y1​,y2​,y3​,…,yj​】，设计一个动态规划算法找出$X$X和$Y$Y的一个最长的公共子序列。

问题分析.

最长公共子序列(Longest Common Sequence)中“子序列”就是 将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果，例如“abcdefg”的子序列 可以是“acfg”，这个概念和“子串”不同，子串必须是原字符串的连续字符组 成的序列。给定两个序列【$X={x_1,x_2,x_3,…,x_i}$X=x1​,x2​,x3​,…,xi​】、【$Y={y_1,y_2,y_3,…,y_j}$Y=y1​,y2​,y3​,…,yj​】，设两序列 的最长公共子序列 【$LCS={z_1,z_2,z_3,…,z_k}$LCS=z1​,z2​,z3​,…,zk​】。 考察序列$X$X和$Y$Y的最末尾字符，即$x_i$xi​和$y_j$yj​。

• ①若 $x_i$xi​＝$y_j$yj​，则 $z_k$zk​ = $x_i$xi​ = $y_j$yj​，并且意味着 $LCS-{z_k}$LCS−zk​是 $X-{x_i}$X−xi​和$Y-{y_j}$Y−yj​的最长公共子序列；
• ②若 $x_i$xi​ ≠ $y_j$yj​，并且 $z_k$zk​ ≠ $x_i$xi​，则意味着$LCS$LCS是$X-{x_i}$X−xi​和$Y$Y的最长公共子序列；
• ③若 $x_i$xi​ ≠ $y_j$yj​，并且 $z_k$zk​ ≠ $y_j$yj​，则意味着$LCS$LCS是$X$X和$Y-{y_j}$Y−yj​的最长公共子序列；
• ④将 $max(②，③)$max(②，③)作为最长公共子序列，继续求解。

举例说明，如$X={1,3,4,5,6,7,7,8}$X=1,3,4,5,6,7,7,8、$Y={3,5,7,4,8,6,7,8,2}$Y=3,5,7,4,8,6,7,8,2
$X[8]≠Y[9]$X[8]​=Y[9]， 所以$LCS(8,9)=max(LCS(7,9),LCS(8,8))$LCS(8,9)=max(LCS(7,9),LCS(8,8))。
最长公共子序列的长度记为$Len(i,j)$Len(i,j)，对于$Len(i,j)$Len(i,j)其动态规划递推式以及边界条件如下所示：