线性代数基础总结

线性代数以矩阵和行列式作为工具，研究线性方程组—>线性空间—>线性变换，重要应用是二次型

行列式

了解行列式性质，会计算低阶行列式

• 性质：
  1. 行列互换，行列式的值不变
  2. 两行互换，行列式变号
  3. 一行乘k等于行列式乘k
  4. 一行的各元素乘k然后加到另一行，行列式的值不变
  5. 如果行列式中有两行成比例，那么行列式为零。
• 计算：
  • 用性质多化简一些0出来
  • 低阶行列式直接用沙路法，红色减蓝色的
  • 三角行列式的值等于主对角元素的乘积
    

矩阵

会用矩阵的初等变换对矩阵进行化简，会矩阵乘法，矩阵求逆，会用行列式计算矩阵的秩。

• 初等变换：互换，互乘，互加。不改变矩阵的秩。对矩阵进行化简。
• 秩：行列式为不为0，则矩阵满秩。
• 矩阵化简：固定一行，一般第一行，第一行第一个元素最好为1，然后航变化把第一列化为零
  然后保持第二行不变，消减第二列依次
• 矩阵乘法：行乘列得交点位置；不满足交换律，非零矩阵乘积可能为零
  
• 矩阵求逆：
  
  
  

线性空间

会判断线性关系，求极大线性无关组

• 线性相关：存在向量可以由其他向量线性表示，行列式为0.
• 极大线性无关组：将向量组按列构成矩阵，用初等行变换化为行最简形进行观察

线性方程组

是否有解；有解时，解是否唯一；解不唯一时，如何表示所有解；

• 解得判定：先让矩阵A的秩和增广矩阵比较看有没有解，再和矩阵的阶比较看解是否唯一
  
• 解的结构
  1. 化简找子矩阵（可以化为阶梯形，主要是为了看秩得无关向量个数，化为最简型更好看 ）
  2. 根据s=n-r(A)找到基础解系个数，在确定基础解系的自由变量，因为自由变量可以取任意值，可以直接利用自由变量让三组解向量线性无关，即将基础解系赋值为单位阵。（如果只有一个基础解系自由向量怎么方便怎么设，只要使特征向量不为零向量，设为0也可以）
  3. 让每一个解向量乘方程（化简后的）都为零
  4. 最后写出通解
     
• 基础解析
  

线性变换

会求具体数字矩阵的特征值与特征向量

• 特征值(λ)与特征向量(A)：

二次型

能判断是否为二次型

n元齐次多项式