聊聊机器学习中的损失函数

机器学习算法一般都是对损失函数(Loss Function)求最优，大部分损失函数都是包含两项：损失误差项(loss term)以及正则项(regularization term):
J(w)=∑iL(mi(w))+λR(w)

损失误差项

常用的损失误差项有5种:

Gold Standard
Hinge:Svm
log:logistic regression(cross entropy error)
squared:linear regression
Exponential:Boosting

Gold Standard Loss

Gold Standard又称0-1误差，其结果又称为犯错与不犯错,用途比较广(比如PLA模型)，其损失函数也是相当的简单:
y={0ifm≥01ifm≤0

Hinge Loss

Hinge的叫法来源于其损失函数的图形，为一个折线，通用函数方式为:
L(mi)=max(0,1−mi(w))

Hinge可以解间距最大化问题，带有代表性的就是svm,最初的svm优化函数如下:
argminw,ζ12||w||2+C∑iζist.∀yiwTxi≥1−ζiζi≥0

将约束项进行变形则为:
ζi≥1−yiwTxi

则可以将损失函数进一步写为:
J(w)=12||w||2+C∑imax(0,1−yiwTxi)=12||w||2+C∑imax(0,1−mi(w))=12||w||2+C∑iLLinge(mi)

因此svm的损失函数可以看成L2-Norm和Hinge损失误差之和.

Log Loss

log类型损失函数的优势可以将连乘转为求和，由于是单调函数，不会改变原结果，并且还很方面求最优，因此log类型的损失函数函数也非常常用，比较著名的一种就是交叉熵(cross entropy)，也就是logistic regression用的损失函数:
J(w)=λ||w||2+∑iyiloggw(xi)+(1−yi)(log1−gw(xi),yi∈{0,1}

其中:
gw(xi)=11+e−fw(xi)fw(xi)=wTxi

Squared Loss

平方误差，线性回归中最常用:
L2(m)=(fw(x)−y)2=(m−1)2

Exponential Loss

指数误差，在boosting算法中比较常见:
J(w)=λR(w)+∑iexp(−yifw(xi))Lexp(mi)=exp(−mi(w))

误差项对比

上面5种误差项的函数为:

黑色为Squared Loss,红色为Hinge Loss,黄色为:Log Loss,绿色为:Exponential Loss,蓝色为:Gold Standard

观察图中:

Hinge Loss中当mi(w)>1 时，其损失项始终未0，当mi(w)<1时，其损失项的值呈线性增长（正好符合svm的需求）.
Squared、Log、Exponential三种损失函数已经Hinge的左侧都是凸函数，并且Gold Stantard损失为他们的下界:
ζ01≤ˆζ01(h)+fudge
当需要求最大似然时(也就是概率最大化)，使用Log Loss最合适，但是一般会加上一个负号将其转换为求最小
损失函数和的凸特征以及有界是非常重要的，可以防止在一些可以求得无穷的工作上白白浪费时间。有时候为了让函数有界和凸特征，一般会使用一些代理函数来进行替换。

正则项

加入正在项是为了降低模型复杂度，在一定程度上可以有效防止模型过拟合

常用的正则项有:
R2=12||w||2R1=∑i|wi|R0=|{i:wi≠0}|

这些正则项可以通用的写成:
Rp=(∑i|wi|p)1p

其中：

R2最常用，因为它是凸函数，非常方便可以用梯度下降法最优化
R1含有特征选择功能，因此经过R1计算之后会有大量的0权重出现，这样的话我们在实际计算中只需要计算有值特征即可，可以加快速算法的运行速度
R0，额~这个暂时不知道哪里用-_-

当p⩽1时其正则项就为非凸函数了