运筹系列28：网络单纯形法

1. network program问题

详情可参考这里
我们常常遇到的Assignment、Transportation、Maximum flow、Shortest path等问题都具有特殊的结构，可以用network program来建模。具体来说，network program指的是如下问题：
$\min c^Tx$mincTx
$Ax= b$Ax=b
$l\le x\le u$l≤x≤u
其中$A\in {-1,0,1}^{n\times m}$A∈−1,0,1n×m，并且每一行只有一个1和一个-1。
下面是一个例子：

network program可以看做是最小费用流问题的数学模型。定义有向图$G=(V,E)$G=(V,E)，$V$V用行表示，$E$E用列表示，从$i$i到$k$k有边的话，则有一列的第$i$i行是1，第$k$k行是-1。$x_j$xj​表示第$j$j条边上的流量，如下图：

对于这类问题，如果存在一条path，那么$\Sigma$Σ方向*边 = $e_{终点}-e_{起点}$e终点​−e起点​，其中$e$e表示单位向量。
定理：每一个连通图都有一个伸展树（包含所有节点的树）
定理：树的$A$A的列相互线性独立，秩为（节点数-1）。

2. 求解方法

选择一个根节点，添加虚拟变量$w$w和单位向量，如下：

根节点衍生出的伸展树和$e_w$ew​构成一组基$B$B。我们回忆一下单纯形法的出入基过程：
每次将负数残差$c^T_N-c^T_BB^{-1}N$cNT​−cBT​B−1N最小（绝对值最大）的非基变量$x_i$xi​替换为基变量，同时将$(\frac{B^{-1}b}{(B^{-1}N)_i})_j$((B−1N)i​B−1b​)j​最小值对应的基变量$x_j$xj​替换为非基变量。
有3个地方用到$B^{-1}$B−1：
$y^TB = c^T_B$yTB=cBT​
$Bx= N_q$Bx=Nq​
$Bx=b$Bx=b
这三个地方都可以用上面的图快速求解，不需要再存储$B^{-1}$B−1。以$y^TB = c^T_B$yTB=cBT​为例：

我们有：

相当于从$y_2$y2​出发遍历树。