离散数学——第二章 集合与函数

文章目录

• 第二章 集合与函数
• 2.1前言
• 2.1.1.本章概述
• 2.2.集合
• 2.2.1.集合的概念与表示
• 2.2.2.集合的运算
• 2.2.3.集合恒等式
• 2.3.函数
• 2.3.1.函数的概念
• 2.3.2.三种函数
• 2.3.3.逆函数
• 2.3.4.复合函数

第二章 集合与函数

2.1前言

2.1.1.本章概述

集合的概念、表示方法、子集、空集、笛卡尔积、幂集、集合并交补差运算、集合恒等式
函数的概念、单射、满射、双射、逆函数、函数的复合

2.2.集合

2.2.1.集合的概念与表示

• 集合的概念
  一般来说，把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。通常用大写英文字母表示集合的名称；用小写英文字母表示组成集合的事物，即元素。若元素 $a$a 属于集合 $A$A ，记作 $a\in A$a∈A ，否则记作 $a\notin A$a∈/​A 。一个集合，若其元素个数是有限的，则称作有限集，否则称为无限集。

• 集合的表示
  列举法，如$A=\{ a,b,c,d\}$A={a,b,c,d};
  描述法，如$B=\{x|x<10\}$B={x∣x<10}
  文恩图法。

• 一些重要的集合
  N = $\{0,1,2,3….\}${0,1,2,3….}
  Z = $\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…\}${…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
  Z⁺ = $\{1,2,3,…..\}${1,2,3,…..}
  R = 实数集
  R+ = 正实数集
  C = 复数集
  Q = 有理数集

• 子集（subsets）
  定义：$A \subseteq B \equiv \forall x (x\in A \rightarrow x \in B)$A⊆B≡∀x(x∈A→x∈B)

• 真子集(proper subsets)
  定义： $\forall x (x\in A \rightarrow x \in B) \wedge \exists x(x\in B \wedge x\notin A)$∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∈B∧x∈/​A)

• 集合相等
  定义：$A=B \equiv \forall x({x\in A \leftrightarrow x\in B })$A=B≡∀x(x∈A↔x∈B)
  判定定理：$A=B \equiv (A \subseteq B \wedge B \subseteq A )$A=B≡(A⊆B∧B⊆A)

• 集合的基数（Cardinality）
  集合的基数是用来衡量集合里面不同元素的个数的。

• 幂集（power sets）
  给定集合 $A$A ，由集合 $A$A 的所有子集为元素组成的集合，称为集合 $A$A 的幂集，记作 $\mathscr{P}(A)$P(A) 。
  例如，如果 A={a,b}，那么$\mathscr{P}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$P(A)={∅,{a},{b},{a,b}}。
  如果有限集合 $A$A 有 $n$n 个元素，则其幂集 $\mathscr{P}(A)$P(A) 有 $2^n$2n 个元素。

• 序偶
  序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。

• 笛卡尔积（直积）
  令 $A$A 和 $B$B 是任意两个集合，若序偶的第一个成员是 $A$A 的元素，第二个成员是 $B$B 的元素，所有这样的序偶集合，称为集合 $A$A 和 $B$B 的笛卡尔乘积或直积，记作 $A\times B$A×B 。$A \times B = \{\langle x,y \rangle \vert (x \in A)\wedge(y \in B)\}$A×B={⟨x,y⟩∣(x∈A)∧(y∈B)}

推广：$A\times B\times C……$A×B×C……
注意这和$(A\times B)\times C$(A×B)×C与$A\times (B\times C)$A×(B×C)的含义不同。
特别地， $A \times A$A×A 可以写成 $A^2$A2 ，同样地， $\overbrace{A \times A \times \cdots \times A}^{n}=A^n$A×A×⋯×A​n​=An 。

2.2.2.集合的运算

• 集合的交(Intersection)
  设任意两个集合 $A$A 和 $B$B ，由集合 $A$A 和 $B$B 所有共同元素组成的集合 $S$S ，称为 $A$A 和 $B$B 的交集，记作 $A \cap B$A∩B 。
• 集合的并(Union)
  设任意两个集合 $A$A 和 $B$B ，所有属于 $A$A 或属于 $B$B 的元素组成的集合 $S$S ，称为 $A$A 和 $B$B 的并集，记作 $A \cup B$A∪B 。
• 集合的补(Complement)
  设 $U$U 为全集，对任一集合 $A$A 关于 $U$U 的补 $U-A$U−A ，称为集合 $A$A 的绝对补，记作 $\sim A$∼A 或 $\overline{A}$A 。
• 集合的差(Difference)
  设任意两个集合 $A$A 和 $B$B ，所有属于 $A$A 而不属于 $B$B 的元素组成的集合 $S$S ，称为 $B$B 对于 $A$A 的补集，或相对补，记作 $A-B$A−B ，也称集合 $A$A 和 $B$B 的差。

2.2.3.集合恒等式

• 分配律

1. $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A \cap C)$A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 。
2. $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A \cup C)$A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 。

• 结合律

3. $A\cap(B\cap C) = (A\cap B)\cap C$A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
4. $A\cup(B\cup C) = (A\cup B)\cup C$A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

• 吸收律

5. $A\cup(A\cap B)=A$A∪(A∩B)=A 。
6. $A\cap(A\cup B)=A$A∩(A∪B)=A 。

• 德摩根律

7. $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$A∪B=A∩B 。
8. $\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$A∩B=A∪B

• 互补律
• 支配律
• 恒等律

2.3.函数

函数，英文为function，mapping，transformation。

2.3.1.函数的概念

• 定义：
  设 $X$X 和 $Y$Y 是任意两个集合，而 $f$f 是 $X$X 到 $Y$Y 的一个关系，如果对于每一个 $x\in X$x∈X ，有唯一的 $y\in Y$y∈Y ，使得 $\langle x,y \rangle\in f$⟨x,y⟩∈f ，称关系 $f$f 为函数，记作 $f:X\rightarrow Y\text{ 或 }X\overset{f}{\rightarrow}Y$f:X→Y 或 X→fY
  A叫做定义域(demain),B叫做伴域(codomain);
  如果，$f(a)=b$f(a)=b，那么b是像(image),a是原像(preimage)。
  像的集合叫值域(range)。

• 利用笛卡尔积定义函数

• 函数相等
  定义：
  设函数 $f:A\rightarrow B,g:C\rightarrow D$f:A→B,g:C→D ，如果 $A=C,B=D$A=C,B=D ，且对于所有 $x\in A$x∈A 和 $x\in C$x∈C ，有 $f(x)=g(x)$f(x)=g(x) ，则称函数 $f$f 和 $g$g 相等，记作 $f=g$f=g 。

2.3.2.三种函数

• 单射（入射）(one -to-one、injection)
  定义：
  从 $X$X 到 $Y$Y 的映射中， $X$X 中不存在两个不同元素有相同的象，则称这个映射为入射（或一对一映射）。设 $f:X\rightarrow Y$f:X→Y 是入射，即是对于任意 $x_1,x_2\in X$x1​,x2​∈X ， 即
  $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$x1​​=x2​⇒f(x1​)​=f(x2​)
  或者
  $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$f(x1​)=f(x2​)⇒x1​=x2​

• 满射（onto、surjection）
  定义：
  对于 $X\overset{f}{\rightarrow}Y$X→fY 的映射中，如果 $\text{range}f=Y$rangef=Y ，即 $Y$Y 的每一个元素是 $X$X 中一个或多个元素的象点，则称这个映射为满射（或到上映射）,即
  $\forall y\in Y,\exists x\in X,s.t. f(x)=y$∀y∈Y,∃x∈X,s.t.f(x)=y
  通俗的说，就是B中的每一个元素都没有漏下，伴域就是值域。

• 双射（one-to-one correspondence、bijection）
  从 $X$X 到 $Y$Y 的一个映射，若既是满射又是入射的，则称这个映射是双射的。

2.3.3.逆函数

定义：
设 $f:X\rightarrow Y$f:X→Y 是一双射函数，称 $Y \rightarrow X$Y→X 的双射函数 $f_c$fc​ 为 $f$f 的逆函数，记作 $f^{-1}$f−1 。$f^{-1}(y)=x$f−1(y)=x ,iff，$f(x)=y$f(x)=y。
定理：
只有双射函数才存在逆函数。

2.3.4.复合函数

• 定义
  设函数$f:B\rightarrow C,g:A\rightarrow B$f:B→C,g:A→B，那么f和g的复合函数 $f\circ g$f∘g为从A到C的函数，记为$f\circ g(x)=f(g(x))$f∘g(x)=f(g(x))