线代知识点

一、行列式

n阶行列式：

          

这里  表示对所有n级排列求和， 表示排列  的逆序数。每项由不同行、不同列的n个元素乘积组成，没项的正负号取决于 逆序数 。

行列式性质：

1、行列互换，其值不变

2、行列式中某行/列元素全为0，则行列式为0

3、行列式中某行/列元素有公因子k(k不为0)，则k可提到行或列外面

          

4、行列式某行/列元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和

          

 

5、行列式两行/列互换，值取反

6、行列式两行/列元素相等或对应成比例，行列式为0

7、行列式中某行/列的k倍加到另一行/列，行列式值不变

余子式&代数余子式：

在n阶行列式中，去掉元素  所在的第i行，第j列元素，有剩下的元素按原来的位置于顺序组成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记成 ，

余子式 乘 后称为 的代数余子式，记

 

克拉默法则：

n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组

          

的系数行列式，则方程组有唯一解，且 ，i=1,2,3.....其中 是 中第i个元素替换成方程组右端的常数项 后所构成的行列式。

推论：

若包含n个方程n个未知量的齐次线性方程组（即 都为0）的系数 ，则方程组有唯一0解，反之，若齐次线性方程组有非零解，则其行列式等于0

 

矩阵：

特殊矩阵：零矩阵（所有元素都为零）、单位矩阵（主对角线元素均为1，其余元素为0）、数量矩阵（数k和单位矩阵的乘积）、对角矩阵（非主对角元素均为0）、上（下）三角矩阵（当i>/<j时，，为上/下三角矩阵）、对称矩阵（）、反对称矩阵（）、正交矩阵（）

矩阵的逆：n阶方阵，AB=BA=E，B是A的逆矩阵 

 

向量：

线性判别五大定理：

1、向量  可由向量组  线性表出  非齐次线性方程组 有解   

2、向量组线性相关   齐次线性方程组 有非零解  

3、向量组线性相关的充要条件为：向量组中至少一个向量可由其余n-1个向量线性表出

4、若向量组线性无关，而向量组向量组线性相关，则 b 可由  线性表出，且表出法唯一

5、若向量组 中的每一个向量  都可由向量组向量组  线性表出，且s>t，则向量组  线性相关，若(1)中的每一个向量  均可由(2)线性表出，且(1)线性无关，则 

 

向量空间

定义1、

若  是 中线性无关的有序向量组，则任一向量  均可由  线性表出， 则称有序向量组  是  的一个基，基向量的个数n成为向量的维数，而 称为向量  在基  下的坐标，或 称为  的坐标行(列)向量

定理2、

若  和  是 的两个基，且有关系  则称上式为由基  到基  的基变换公式，矩阵C称为由基  到基  的过渡矩阵,C是可逆矩阵

定理3、

设  在基  和 下的坐标分别为  ,即  又基  到基  的过度矩阵为C，即 ,则   得  或  ，称为坐标变换公式

正交变换：

设A是n阶方阵，满足  ,则称A是正交矩阵

设A是正交矩阵，则称  为正交变换，正交变换保持向量内积不变，即保持向量长度，两向量间的夹角不变

 

线性方程组

1、齐次线性方程组：

当r(A)=n时（ 线性无关），Ax=0有唯一零解

当r(A)<n时，Ax=0有非零解，且有n-r个线性无关解

2、非齐次线性方程组：、

若  (b不能由  线性表出)，Ax=b无解

若  (  线性无关，且能线性表出b)，Ax=b有唯一解

若  (  线性相关，且能线性表出b)，Ax=b有无穷解

 

特征值

设A是n阶方阵， 是一个数，若存在n维非零向量\xi ，使得  则称  是A的特征值， 是A对应于特征值  的特征向量。 ,因为  ，所以 ，称为A的特征方程

 

二次型

n 元变量  的二次齐次多项式

           

称为n元二次型，简称二次型。称  为二次型  的矩阵表达式，A是对称矩阵

线性变换：

对于n元二次型  ,若令

          

记 为系数矩阵, ，则可写为： 上式称为从  到 的线性变换，若 可逆，即 ，则称为可逆线性变换。现给出  ,令  ,则  记  ,则  此时，二次型  通过线性变换 得到一个新二次型 

可逆线性变换不会改变二次型的秩。

矩阵合同：

设A、B为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得  则称A与B合同，记 ，此时称 为合同二次型

可以看出，在二次型背景下，A表征的是 的“形态”，B表征的是 的“形态”。在二次型中，A与B合同，就是指在同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

二次型的标准型、规范型

若二次型中只有平方项，没有交叉项（即所有交叉项的系数全为零）的二次型称为标准型，若标准型中，系数仅为1，0，-1的二次型称为规范型。

任何二次型均可通过配方法（可逆线性变换）化成标准型及规范型：任何对称矩阵 A ，必然存在可逆矩阵 C ，使得

也可以通过正交变换化成标准型：任何实对称矩阵 A ，一定存在正交矩阵 Q ，使得

惯性定理：

无论选取什么可逆线性变换，将二次型化成标准型或规范型，其正项之数p,负项之数q都是不变的，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数。

正定二次型：

n元二次型  ,若对任意的  ,均有 ,则称f为正定二次型，称二次型对应矩阵A为正定矩阵

二次型正定的必要条件：