算法与数据结构（七）

栈是一个先入后出（FILO）的有序列表。栈限制其元素只能在线性表的同一端进行插入和删除操作，允许变化的这一端被称为栈顶（Top），固定的一端称为栈底（Bottom），栈的基本操作有入栈（push）和出栈（pop）

图示：
算法与数据结构（七）

图示：
算法与数据结构（七）
由于栈的底部是不能移动的，我们只需要一个 top 指针。top 首先会指向 -1，随着元素的加入上移，随着元素的减少下移。

图示：
算法与数据结构（七）
top指针指向单链表的最后一个元素。添加时在最后一位添加；删除时先遍历到最后一位，然后删除。

基本思路：

创建两个栈分别记录数字和符号
遍历表达式，如果为数字，则直接入数字栈
如果为符号，检测符号栈是否为空，如果为空，直接入栈
如果不为空，
4.1. 待入栈符号的优先级高于或等于栈中符号的优先级，则直接入栈
4.2. 若待入栈符号的优先级小于栈中符号的优先级，则将数字栈前两位出栈，将当前符号栈中第一位出栈，运算后得到数字加入数字栈中，再加入符号
重复上述步骤直到数字栈中只有一位数字

以表达式 3+6*2-2 为例

3, +, 6, *, 2 都是直接加入，当加入 - 时，由于 - 的优先级低于 *，所以执行步骤4.2
算法与数据结构（七）
然后依次执行 3+12， 15-2 ，得到 13

数学表达式分为三种：前缀、中缀和后缀
我们一般使用的是中缀表达式，即运算符在数字之间，但这种表示方式不利于计算机做运算。因此产生了前缀表达式（波兰式）和后缀表达式（逆波兰式）

中缀计算器更适合用树来实现，后缀计算器更适合用栈实现

又称波兰式，仅依靠入栈，出栈两种操作就可以完成中缀表达式的全部运算

例如(3+4)*5-6 的前缀表达式为 - * + 3 4 5 6

转换规则

前缀规则类似后缀，详情见后缀表达式

运算规则

又称为逆波兰式，只是将符号放到了数字之后，比前缀表达式更常用

上例的后缀表达式为 3 4 + 5 * 6 -

转换规则

创建两个栈，分别保存数字和运算符
从左到右遍历中缀表达式，如果是数字，就直接压入数字栈中
如果是 “(”，就直接压入符号栈
如果是 “)”，就从符号栈中弹出符号，并压入数字栈中，直到将 “(” 弹出
如果是非括号符号±*/，则：
1. 如果符号栈为空，直接压入符号栈
2. 如果符号栈不为空且栈顶为 “(”，直接压入符号栈
3. 如果符号栈不为空且栈顶为非括号运算符，判断符号优先级。如果当前符号优先级高于栈顶符号优先级，则直接压入
4. 如果当前符号优先级低于或等于栈顶符号优先级，则需要将符号栈内元素出栈，直到有一元素优先级低于当前符号
重复直到遍历整个中缀表达式
将符号栈元素出栈，压入数字栈中
最终数字栈中从栈底往栈顶方向就是完整的后缀表达式

运算规则