05 ，矩阵和线性变换 ：

1 ，m x n 矩阵 ：

1. 定义 ： m 行，n 列的数字
2. 例子 ：
   

2 ，特殊矩阵 ： n 阶矩阵

1. 定义 ：
   1 ，行数，列数都是 n
   2 ，记作 ： An
   3 ，又叫 ： n 阶方阵

3 ，特殊矩阵 ： 行矩阵

1. 定义 ： 只有一行的矩阵
2. 又叫 ： 行向量

4 ，特殊矩阵 ： 列矩阵

1. 定义 ： 只有一列的矩阵
2. 又叫 ： 列向量

5 ，矩阵 ：应用

1. 图像
   

6 ，线性变换 ： 几何理解

1. 定义 ：
   1 ，线性空间中的运动
   2 ，线性空间中的一个向量，变成另一个向量
2. 推论 ：
   1 ，线性变换可以对空间中的所有向量进行
   2 ，例如 ： 可以把线性空间中的向量，想象成一个个的点
3. 几何理解 ：
   1 ，空间中的线性变换，可以认为是对空间的拉扯
4. 注意的点 ：
   1 ，坐标原点不动
   2 ，箭头始终为直线，不能为曲线

7 ，线性变换 ： 代数理解 ( 对于基向量的把控 )

1. 设有基向量 ：(i,j) ( 1,1 )
2. 向量 v = ai + bj
3. 空间被拉伸以后 ： 基向量变成了 ( i’ ，j’ )
4. 拉伸后 ： v’ = ai’ + bj’
5. 结论 ：把握好基向量，就可以把握好全部向量

8 ，线性变换 ： 例子

1. 变换前 ： v = -1i + 2 j
   
2. 变换后 ： v’ = ai’ + bj’
   
3. 变换后的基向量 ：
   i’ = (1,-2)
   j’ = (3,0)
4. 测试 ： 推论是否成立
   -1(1,-2) + 2(3,0) = (5,2)
   成立
5. 结论 ：
   1 ，原向量 = 系数 * 基向量
   2 ，新向量 = 系数 * 新的基向量
6. 法门 ：
   只要算准基向量变换了多少，即可算出全部的线性变换
7. 如图 ：