GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（02）

GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（02）

Lecture 02 Review of Linear Algebra

• GAMES101-现代计算机图形学学习笔记（02）
• 向量
• 向量定义
• 向量运算
• 向量单位化
• 向量加法的两种表示形式
• 向量乘法
• 矩阵
• 矩阵定义
• 矩阵运算
• 矩阵乘法
• 点乘和叉乘的矩阵乘法表示

今天有幸看到闫老师的现代图形学课程，感觉真的讲得很好，所以决定把自己的一些学习笔记以及课程作业记录下来，希望能和大家一起讨论学习一下。如果有时间还是希望大家能去看看原课程，强推！！
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向量

向量定义

一种既有大小，又有方向的量；大小体现在模长，方向体现在指向。
没有绝对的起始位置，所以也具有平移不变性的性质。
一个如图所示的向量$\overrightarrow{A B}$AB, 可由如下公式表示:

$\overrightarrow{A B}=B-A$AB=B−A

向量运算

向量单位化

向量 $\overrightarrow{A B}$AB 的模长记为：$||\overrightarrow{A B}||$∣∣AB∣∣ , 对于三维空间的向量 $\overrightarrow{A B} = (x,y,z)$AB=(x,y,z) 来说，模长为 $\sqrt[2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$2x2+y2+z2​ 。
一个模长为1的向量为单位向量，计算一个单位向量可以通过$\hat{AB}=\overrightarrow{A B} /\|\overrightarrow{A B}\|$AB^=AB/∥AB∥来计算。

向量加法的两种表示形式

1. 几何上：表示为平行四边形或者三角形法则相加
2. 代数上：表示为数值位（坐标轴位）上的相加

向量乘法

假设已知向量 $\vec{a}$a 和 $\vec{b}$b为三维空间上的向量。

1. 点乘
   点乘结果是一个数
   ①代数形式：
   向量点乘表示为其各个分量上的乘积和
   $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$a⋅b=i=1∑3​ai​bi​=a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​
   ②几何形式：
   $\vec{a} \cdot \vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \cos \theta$a⋅b=∥a∥∥b∥cosθ
   同时也可以变换公式得到两个向量的夹角余弦值：
   $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$cosθ=∥a∥∥b∥a⋅b​
   即通过该余弦值计算两个向量的相似度。
   ③意义：
   第一点，找到两个向量的夹角（可以通过角度的大小决定两个向量的前后关系）；
   
   第二点，找到一个向量在另一个向量上的投影；
   第三点，对向量在水平和垂直方向上进行分解；
   
   点乘的应用十分广泛，还有诸如计算光照反射分量也需要用到点乘，即考虑了入射光和物体表面法向的夹角关系，当光照方向与物体法向方向夹角越小时，其光照影响会越大，即点乘结果越接近1，如下图所示：
   
2. 叉乘
   叉乘结果是一个向量
   ①代数形式：
   $\vec{a} \times \vec{b}=\left(\begin{array}{l} y_{a} z_{b}-y_{b} z_{a} \\ z_{a} x_{b}-x_{a} z_{b} \\ x_{a} y_{b}-y_{a} x_{b} \end{array}\right)$a×b=⎝⎛​ya​zb​−yb​za​za​xb​−xa​zb​xa​yb​−ya​xb​​⎠⎞​
   ②几何形式：
   数值上以 $\vec{a}$a , $\vec{b}$b 夹角为θ组成的平行四边形的面积。
   方向上垂直于 $\vec{a}$a , $\vec{b}$b 所决定的平面，其指向按右手定则从 $\vec{a}$a 转向 $\vec{b}$b 来确定。
   
   （需要注意的一点）两个向量叉乘交换需要加负号，而点乘不需要。
   $\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}$a×b=−b×a$\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$a⋅b=b⋅a
   ③意义：
   第一点，叉乘可以用来向量的左右关系。若向量 $\vec{a}$a 在向量 $\vec{b}$b 右边，通过右手法则，他们叉乘的结果应该朝上；而如果结果朝下，则向量 $\vec{a}$a 在向量 $\vec{b}$b 左边；
   第二点，叉乘可以用来判断一个点是否在多边形内。如果一个点P在一个多边形内，那么从该多边形所有的点来说，每条边构成的向量与点p构成的向量叉乘结果都应该是一致的，反之，会出现某些叉乘结构不一致，即算出的向量方向相反。
   下图中点A B C 构成的向量与点 P构成的向量的叉乘结果都是朝向屏幕外。
   

矩阵

矩阵定义

矩阵本质上是由m × n 个数排成的m行n列的数表。记作：
$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3 n} \\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right]$A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​a11​a21​a31​⋯am1​​a12​a22​a32​⋯am2​​⋯⋯⋯⋯​a1n​a2n​a3n​⋯amn​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

矩阵运算

包括矩阵与矩阵的加法，减法，矩阵的交换律，结合律等等。这里不详细展开，可以参考：
链接: link.

矩阵乘法

1. 矩阵与数的乘法
2. 矩阵与矩阵的乘法（需要第一个矩阵列数与第二个矩阵行数相等）
   

点乘和叉乘的矩阵乘法表示

1. 点乘的矩阵乘法表示
   $\begin{array}{cc} \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a}^{T} \vec{b} =\left(\begin{array}{lll} x_{a} & y_{a} & z_{a} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{array}\right) \end{array}=\left(x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}+z_{a} z_{b}\right)$a⋅b=aTb=(xa​​ya​​za​​)⎝⎛​xb​yb​zb​​⎠⎞​​=(xa​xb​+ya​yb​+za​zb​)
2. 叉乘的矩阵乘法表示
   $\vec{a} \times \vec{b}=A^{*} b=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -z_{a} & y_{a} \\ z_{a} & 0 & -x_{a} \\ -y_{a} & x_{a} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{array}\right)$a×b=A∗b=⎝⎛​0za​−ya​​−za​0xa​​ya​−xa​0​⎠⎞​⎝⎛​xb​yb​zb​​⎠⎞​
   这里的叉乘也和后面的欧拉角的一个分量对应上了。

总的来说，图形学里用到的矩阵和向量概念十分多，向量可由用来计算光照，表示方向，同时矩阵也可以用来计算变换过程，十分方便。