泛函分析 第一章 3 开集和连续映射(2) 笔记

这个地方是在证明假如 $S_1$S1​ 是开集，那么其原像 $S$S 也是开的，证明方法是取 $\forall x_0\in S$∀x0​∈S ，记 $y_0=Tx_0\in S_1$y0​=Tx0​∈S1​， 然后分别用两个条件：

1. $S_1$S1​ 开 => $B_1(y_0,\epsilon)\sub S_1$B1​(y0​,ϵ)⊂S1​
2. $T$T 连续 => $TB(x_0,\delta)\sub B_1(y_0,\epsilon)\sub S_1$TB(x0​,δ)⊂B1​(y0​,ϵ)⊂S1​

此时由 $TB(x_0,\delta)\sub S_1$TB(x0​,δ)⊂S1​ 可以推出 $B(x_0,\delta)\sub S$B(x0​,δ)⊂S ，因为已经定义了 $S$S 是 $S_1$S1​ 的原像，因此变换之后都在 $S_1$S1​ 中就说明变换之前都在 $S$S 中。

最后因为 $x_0$x0​ 任意，因此 $S$S 是开集。