目录
1 Definitions and First Example
2 Properties of the Subdifferential Set
Subdifferential sets are always closed and convex.
3.1 Definition and Basic Properties
1 Definitions and First Example
Def 3.1（次梯度） 是proper的，
。
被称作f在x上的次梯度，如果满足
想清楚这两个式子的细微差别。
【显然的，次梯度是在某点的梯度无法计算时产生的，所以次梯度的适用范围很广，对函数f并无太多要求】
对某个y，都有很多g满足上式。
Def 3.2 （次微分） f在x处的次微分即f在x处的次梯度的集合
2 Properties of the Subdifferential Set
Subdifferential sets are always closed and convex.
T3.9 （次微分闭凸性证明）
Def3.10 （可微性定义）
我们说f在x上是次可微的，如果在上述定义下的 次微分集合是非空的。
定义次可微点的集合：
f proper ， dom（f） convex
f proper ，convex
f convex，映射到R
f proper convex，
补充相对内部的定义
f proper，convex
【3.18与3.14都在f proper，convex 下，内部比相对内部多了一个bounded的结论】
f proper，convex
【3.18、3.19与3.14都在f proper，convex 下，x分别属于、
、
，其中都有
非空的结论，
多了
bounded的结论】
3 Directional Derivatives
3.1 Definition and Basic Properties
f在d方向的导数
凸函数在其domain内部具有全方向的导数。
方向导数的凸性和齐次性
在凸性假设下，函数值与方向导数的联系。
在没有凸性假设下，计算有限函数集合的最大方向导数
3.2 The Max Formula
这个Max Formula将次梯度与方向导数联系起来。
3.3 Differentiability