神经网络中的反向传播

一、损失函数

预测值： 首先我们根据给定的Xi，对于一个样本，我们可以得到一个预测
值 $\widehat{y}$y​ 。

为了衡量我们的预测值与真实值之间的差距，我们引入了一个损失函数，这里
就仅列出交叉熵函数作为举例，而且为什么要用交叉熵，这里最重要的原因是因为采用交叉熵可以避免局部最小值。

交叉熵函数：
$L(y,\widehat{y}) = -(ylog\widehat{y}+(1-y)log(1-\widehat{y}))$L(y,y​)=−(ylogy​+(1−y)log(1−y​))

所以我们可以直观看一下该函数的作用：

• 如果y=1，那么公式中只剩下$-log\widehat{y}$−logy​，如果 $\widehat{y}=0$y​=0，那么此时L趋于无穷大，如果 $\widehat{y}=1$y​=1，那么此时L=0。
• 同理y=0，也是一样。
• 所以通过上述两种情况，我们的目的是为了使误差尽可能地小，从而使我们的预测接近真实值。

二、成本函数

由于损失函数是对于一个样本的，那么在训练一组训练集时，将各个样本的误差相加求和再取平均数，即为成本函数。

三、梯度下降法

通过梯度下降，不断地更新w、b参数，从而使预测值更加接近真实值。我们可以直观地看一下，我们的成本函数究竟是什么样子的：

因此我们的目的就是找到那个最低点，即我们要的w、b。这样也可以避免局部最优解。

我们来看一下梯度下降究竟干了些什么：

• 初始化一个w、b，此时我们位于该图中随意的一个点上。
• 从此时开始，这个点沿着梯度一直往下走，直到走到最低端，或者在周围震荡。

那么为什么可以走到最低点，我们来看一下w、b究竟是如何变化的。首先给出w的更新公式：
$w = w - \alpha\frac{dJ(w)}{dw}$w=w−αdwdJ(w)​

以该图为例，我们进行分析：

• 我们知道，导数其实就是一个斜率，那么我们可以分类讨论。
• 如果导数大于0，我们知道此时我们位于该图像的右半部分，那么我们此时的w应该向左移动，也就是上述的公式。
• 如果导数小于0，那么此时处于左半部分，减去一个负值，相当于w变大
• 通过上述公式，我们发现我们正在一步步地往最低点移动。

通过上述讲解，我们应该也注意以下问题：

• **函数必须可导，要不然无法反向传播。(当然Relu是个例外)
• 损失函数的选择决定了你的收敛
• 梯度下降的方法决定了你的收敛
• 学习率在一定程度上也会决定你的收敛