求解CT问题无解情况

CT成像问题中经常遇到$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$Ax=p无解的情况。这时候，就需要寻找广义解，即找到一个$\boldsymbol{x}$x有$A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}\to 0$Ax−p→0。即$||A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}||$∣∣Ax−p∣∣或$||A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}||^2\to 0$∣∣Ax−p∣∣2→0。

最小二乘法将$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}$Ax=p转化为求解$\boldsymbol{x}=arg \mathop{min}\limits_{x\in\mathbf{R^n}}\frac{1}{2}||A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}||^2$x=argx∈Rnmin​21​∣∣Ax−p∣∣2
这是一个无约束的最优化问题，主要是指x的取值范围无约束。

$\boldsymbol{x}=arg \mathop{min}\limits_{x\in\mathbf{R^n}}\frac{1}{2}||A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}||^2$x=argx∈Rnmin​21​∣∣Ax−p∣∣2总是有解的吗？为什么？下面给出证明。

证明如下：