数学分析笔记9：数项级数

数项级数的定义和相关概念

所谓无穷级数就是可列个实数相加。那么，该如何定义可列个实数的和呢？我们已经有了有限个实数的和，对一个数列$\{x_n\}${xn​}，我们有前n个实数的和$S_n = \sum_{k=1}^n{x_k}$Sn​=k=1∑n​xk​这就组成了部分和序列$\{S_n\}${Sn​}，很自然地，我们就想到用部分和序列的数列极限来作为可列个实数的和。
定义9.1 $\{x_n\}${xn​}是实数列，如果极限$\lim_{n\to \infty}{\sum_{k=1}^{n}{x_k}}$n→∞lim​k=1∑n​xk​存在，那么称级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛，记为$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n} = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^n{x_k}}$n=1∑∞​xn​=n→∞lim​k=1∑n​xk​

定理9.1（数项级数收敛的必要条件）$\{x_n\}${xn​}是实数列，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛，则$\lim_{n\to\infty}{x_n}=0$n→∞lim​xn​=0

证：
$x_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$xn​=Sn​−Sn−1​(n≥2)
两边取极限就能证得结论

同样地，由柯西准则，我们可以得到级数收敛的一个充要条件。
定理9.2（数项级数收敛的柯西准则） $\{x_n\}${xn​}是实数列，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛的充分必要条件是对任意的正数$\varepsilon>0$ε>0，存在正整数$N$N，对任意的$n\ge N$n≥N，对任意的正整数$p$p，都有$|\sum_{k=n}^{n+p}{x_k}|<\varepsilon$∣k=n∑n+p​xk​∣<ε
类似于广义积分的绝对收敛和条件收敛，级数也有相应的条件收敛和绝对收敛。
定义9.2 $\{x_n\}${xn​}是实数列，如果$\sum_{n=1}^{\infty}{|x_n|}$∑n=1∞​∣xn​∣收敛，就称级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​绝对收敛，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛，但不绝对收敛，就称级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​条件收敛

定理9.3 $\{x_n\}${xn​}是实数列，如果$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​绝对收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛

证明是类似的，这里不证。

这样，我们判断一个级数是否收敛，首先判断通项是否趋于0，其次判断是否绝对收敛，在不绝对收敛的条件下再判断是否条件收敛。

级数审敛法

比较判别法

由于绝对收敛蕴含着级数收敛，因此，我们首先考虑正项级数的敛散性的判断。同样地，如果$x_n\ge 0(n\ge 1)$xn​≥0(n≥1)，那么部分和序列$\{S_n\}${Sn​}单调上升，这样，级数的收敛等价于部分和序列是否有界。
定理9.5 $\{x_n\}${xn​}是非负实数列，则正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛的充分必要条件是存在正实数$M>0$M>0，对任意的$n\ge 1$n≥1，部分和$\sum_{k=1}^{n}{x_k}\le M$∑k=1n​xk​≤M

这样，就可以通过和基准级数的比较来判断正项级数的敛散性。
定理9.6 $\{x_n\}${xn​}和$\{y_n\}${yn​}是两个非负实数列，如果存在正整数$N$N及正实数$c_1>0,c_2>0$c1​>0,c2​>0，当$n\ge N$n≥N时，$c_1x_n\le c_2y_n$c1​xn​≤c2​yn​，则
(1)$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$∑n=1∞​yn​发散
(2)$\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$∑n=1∞​yn​收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
类似于广义积分，比较审敛法也有其极限形式。
定理9.7 $\{x_n\}${xn​}和$\{y_n\}${yn​}是两个非负实数列，$y_n>0(n\ge 1)$yn​>0(n≥1)，如果$\lim_{n\to\infty}{\frac{x_n}{y_n}}=a$n→∞lim​yn​xn​​=a(1)$a=0$a=0则，如果$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​发散，$\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$∑n=1∞​yn​发散,如果$\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$∑n=1∞​yn​收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
(2)$0<a<\infty$0<a<∞，则$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​和$\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$∑n=1∞​yn​同敛散

广义积分判别法

提出广义积分判别法是为了给出一组重要的基准级数的收敛性。这组基准级数敛散性的判断可以作为正项级数敛散性的重要依据。
定理9.7(积分审敛法) $f(x)$f(x)在$[0,+\infty)$[0,+∞)上非负单调下降，对任意的$x>0$x>0，$f(x)$f(x)在$[0,x]$[0,x]上可积，则$\sum_{n=1}^\infty {f(n)}$∑n=1∞​f(n)的充要条件是无穷限积分$\int_0^{+\infty}{f(x)dx}$∫0+∞​f(x)dx收敛
在证明广义积分判别法之前，我们先看该定理的几何意义。

如图，$f(1)+f(2)+f(3)$f(1)+f(2)+f(3)可以表为图(a)和(b)的三个矩形的面积。只不过在图(a)中三个矩形的面积小于$\int_0^3{f(x)dx}$∫03​f(x)dx，在图(b)中，三个矩形的面积大于$\int_1^4{f(x)dx}$∫14​f(x)dx。这样，就可以利用无穷限积分的收敛性，判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}$∑n=1∞​f(n)的敛散性。

证：
如果无穷限积分$\int_0^\infty{f(x)dx}$∫0∞​f(x)dx收敛，那么，存在正实数$M>0$M>0，对任意的$x>0$x>0，都有$\int_0^x{f(t)dt}<M$∫0x​f(t)dt<M而$\sum_{k=1}^n{f(k)}\le\int_0^n{f(t)dt}<M$k=1∑n​f(k)≤∫0n​f(t)dt<M因此，正项级数$\sum_{n=1}^\infty{f(n)}$∑n=1∞​f(n)收敛。
如果无穷限积分$\int_0^\infty{f(x)dx}$∫0∞​f(x)dx收敛，则$\lim_{n\to\infty}{\int_1^n{f(t)dt}}=+\infty$n→∞lim​∫1n​f(t)dt=+∞而$\sum_{k=1}^n{f(k)}\ge\int_1^{n+1}{f(t)dt}$k=1∑n​f(k)≥∫1n+1​f(t)dt因此，$\sum_{n=1}^\infty{f(n)}$∑n=1∞​f(n)发散

现在，我们来给出两个重要的级数，后面的正项级数判别法大多都基于这两个基准进行。
例9.1 判断级数$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}}$∑n=1∞​nα1​的敛散性

解：
我们知道无穷限积分$\int_1^\infty{\frac{dx}{x^\alpha}}$∫1∞​xαdx​在$\alpha>1$α>1时收敛，$0<\alpha\le 1$0<α≤1时发散。因此，$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}}$∑n=1∞​nα1​在$\alpha>1$α>1时收敛，$0<\alpha\le 1$0<α≤1时发散。

例9.2 判断几何级数$\sum_{n=1}^\infty{x^n}$∑n=1∞​xn的敛散性($x>0$x>0)

解：
实际上，几何级数的部分和我们在中学时已经求出。$S_n = \frac{x(1-x^n)}{1-x}$Sn​=1−xx(1−xn)​因此，$0\le x<1$0≤x<1时级数收敛。$x\ge 1$x≥1时级数发散。

达朗贝尔判别法和柯西根值判别法

现在，我们有了两个基准，将正项级数和这两个级数进行比较。就得到正项级数的达朗贝尔判别法和柯西根值判别法。实际上，如果存在正实数$0<x<1$0<x<1，存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，$x_n \le x^n$xn​≤xn正向级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛，如果存在$N$N,$n\ge N$n≥N，$x_n\ge 1$xn​≥1，级数一定发散，至少通项不趋于0。我们可以给出一种比值形式的比较：如果存在正实数$x<1$x<1，$n\ge N$n≥N时，都有$\frac{x_{n+1}}{x_n} \le x$xn​xn+1​​≤x那么，$n>N$n>N时$x_n = x_N\prod_{k=N}^{n-1}{\frac{x_{k+1}}{x_k}} \le x_Nx^{n-N}$xn​=xN​k=N∏n−1​xk​xk+1​​≤xN​xn−N这样，由比较判别法，就可以得到达朗贝尔判别法。
定理9.8（达朗贝尔判别法） $\{x_n\}${xn​}是每项都为正数的实数列。
(1)如果存在正实数$a<1$a<1，存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，都有$\frac{x_{n+1}}{x_n}\le a$xn​xn+1​​≤a则正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
(2)如果存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，都有$\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1$xn​xn+1​​≥1则正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​发散

特别地，我们可以给出达朗贝尔判别法的极限形式
定理9.9(达朗贝尔判别法的极限形式 $\{x_n\}${xn​}是每项都为正数的实数列，并且极限$\lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=a$n→∞lim​xn​xn+1​​=a存在，则：
(1)$a<1$a<1，则正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
(2)$a>1$a>1，则正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​发散
(3)$a=1$a=1，则达朗贝尔判别法无法判别该级数的敛散性

根值判别法也是和几何级数比较，然而根值判别法是基于$n$n次方根进行的。
定理9.10(柯西根值判别法) $\{x_n\}${xn​}是非负实数列
(1)如果存在正实数$c<1$c<1及正整数$N$N,$n\ge N$n≥N，$\sqrt[n]{x_n}\le c$nxn​​≤c则正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
(2)如果存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，都有$\sqrt[n]{x_n}\ge 1$nxn​​≥1则正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​发散

同样地有其极限形式：
定理9.11(柯西根值判别法的极限形式) $\{x_n\}${xn​}是非负实数列，极限$\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{x_n}}=a$n→∞lim​nxn​​=a存在
(1)如果$a<1$a<1，则正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
(2)如果$a>1$a>1，则正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$∑n=1∞​xn​发散
(3)如果$a=1$a=1，则根值判别法无法判别级数的敛散性

拉贝判别法

如果达朗贝尔判别法和根值判别法无法判别级数的收敛性，说明级数需要一个更精细的基准级数。这时我们采用调和级数$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}}$∑n=1∞​nα1​来作为基准。
首先，如果存在$0<p\le 1,c>0$0<p≤1,c>0$a_n\ge \frac{c}{n^p} \ge \frac{c}{n}$an​≥npc​≥nc​所以我们只需要与$\frac{1}{n}$n1​进行比较。其次，如果$x_n>0$xn​>0，并且存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，都有$\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge \frac{n}{n+1}$xn​xn+1​​≥n+1n​或可以写成$\frac{x_n}{x_{n+1}} \le \frac{n+1}{n}$xn+1​xn​​≤nn+1​时，就有$x_n\ge \frac{x_{N}}{N+1}\frac{1}{n}$xn​≥N+1xN​​n1​这样，由比较审敛法，级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​发散，此时就有$n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\le 1$n(xn+1​xn​​−1)≤1反之，如果$n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\ge c > 1$n(xn+1​xn​​−1)≥c>1：我们先给出一个引理
引理9.1 对任意的大于1的正数$c$c，对任意的$1<c^\prime<c$1<c′<c，存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，都有$\frac{c}{n}+1 \ge (1+\frac{1}{n})^{c^\prime}$nc​+1≥(1+n1​)c′

证：
对任意的$1<c^\prime<c$1<c′<c，由Taylor公式，有$(1+\frac{1}{n})^{c^\prime} = 1+\frac{c}{n}+ \frac{c^\prime-c}{n}+o(\frac{1}{n})$(1+n1​)c′=1+nc​+nc′−c​+o(n1​)因此$\lim_{n\to\infty} {n((1+\frac{1}{n})^{c^\prime}-1-\frac{c}{n})} =c^\prime-c<0$n→∞lim​n((1+n1​)c′−1−nc​)=c′−c<0由极限的保号性，存在$N$N，$n\ge N$n≥N时，$n((1+\frac{1}{n})^{c^\prime}-1-\frac{c}{n})<0$n((1+n1​)c′−1−nc​)<0这就证得了不等式

因此，只要：$n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\ge c > 1$n(xn+1​xn​​−1)≥c>1，那么，一定存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时$\frac{x_n}{x_{n+1}}\ge 1+\frac{c}{n} \ge (1+\frac{1}{n})^{c^\prime}$xn+1​xn​​≥1+nc​≥(1+n1​)c′这样，再由比较审敛法，就能得到拉贝判别法：
定理9.12(拉贝判别法) $x_n>0(n\ge 1)$xn​>0(n≥1)，$B_n=n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)$Bn​=n(xn+1​xn​​−1)，则
(1)如果存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，$B_n\le 1$Bn​≤1，则正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​发散
(2)如果存在正整数$N$N及大于1的实数$c$c，$n\ge N$n≥N时，$B_n\ge c$Bn​≥c，则正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛

拉贝判别法还有其极限形式：
定理9.13(拉贝判别法的极限形式) $x_n>0(n\ge 1)$xn​>0(n≥1)，$B_n=n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)$Bn​=n(xn+1​xn​​−1)，如果$\lim_{n\to\infty}{B_n}=B$n→∞lim​Bn​=B存在
(1)$B<1$B<1则正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​发散
(2)$B>1$B>1则正项级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
(2)$B=1$B=1时拉贝判别法无法判别级数的敛散性

库默尔判别法

无论是达朗贝尔判别法，还是库默尔判别法，都是以某个基准级数利用比较判别法进行判别的，现在，我们把这个过程一般化。如果$\{b_n\}${bn​}每项都大于0，并且$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$∑n=1∞​bn​1​发散，那么我们可以以此为基准来判定一个级数的发散。如果正项级数$\{x_n\}${xn​}满足：存在正数$c>0$c>0及正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，都有$x_n\ge \frac{c}{b_n}$xn​≥bn​c​那么，$x_n$xn​一定发散。同样地，我们考虑比值的形式：如果
存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，都有$\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge \frac{b_n}{b_{n+1}}$xn​xn+1​​≥bn+1​bn​​以上条件一定满足，相当于：$b_{n}\frac{x_n}{x_{n+1}}-b_{n+1}\le 0$bn​xn+1​xn​​−bn+1​≤0我们就令$K_n = b_{n}\frac{x_n}{x_{n+1}}-b_{n+1}$Kn​=bn​xn+1​xn​​−bn+1​也就是说，如果$K_n \le 0$Kn​≤0在某个时刻之后成立，那么级数一定是发散的，自然地，我们会猜想，如果存在正数$c>0$c>0，$K_n \ge c >0$Kn​≥c>0在某个时刻之后成立，那么正项级数是否收敛呢？答案是肯定的。
实际上，如果$K_n\ge c>0$Kn​≥c>0，那么在某个时刻之后：$b_nx_n-b_{n+1}x_{n+1}\ge c x_{n+1}$bn​xn​−bn+1​xn+1​≥cxn+1​这就说明了数列$\{b_nx_n\}${bn​xn​}是单调下降的，并且由下界0，因此级数$\sum_{n=1}^{\infty}{(b_nx_n-b_{n+1}x_{n+1})}$∑n=1∞​(bn​xn​−bn+1​xn+1​)收敛，就可以证得级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛，我们注意到，以上过程并没有用到$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$∑n=1∞​bn​1​的敛散性。我们将以上推理总结为以下的库默尔判别法。
定理9.14(库默尔判别法) $\{x_n\}${xn​}和$\{b_n\}${bn​}是每项都为正数的实数列，令$K_n = b_n\frac{x_n}{x_{n+1}} - b_{n+1}$Kn​=bn​xn+1​xn​​−bn+1​(1)如果$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$∑n=1∞​bn​1​发散，并且存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，$K_n\le 0$Kn​≤0，则级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​发散
(2)如果存在正数$c$c，存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，$K_n\ge c$Kn​≥c，则级数$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛
容易验证拉贝判别法和达朗贝尔判别法都是库默尔判别法的特例。同样地，可以给出库默尔判别法的极限形式。
定理9.15(库默尔判别法的极限形式) $\{x_n\}${xn​}和$\{b_n\}${bn​}是每项都为正数的实数列，令$K_n = b_n\frac{x_n}{x_{n+1}} - b_{n+1}$Kn​=bn​xn+1​xn​​−bn+1​$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$∑n=1∞​bn​1​发散，$\{K_n\}${Kn​}收敛且极限为$K$K
(1)$K<0$K<0则$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​发散
(2)$K>0$K>0则$\sum_{n=1}^\infty{x_n}$∑n=1∞​xn​收敛

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

对于一般的级数，如果不是绝对收敛，那么我们只能借助柯西准则来对级数的敛散性进行判别。类似于广义积分，级数也有相应的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。
对任意的正整数$n$n，对任意的正整数$p$p，考虑和式：$\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}$∑k=nn+p​xk​yk​
由阿贝尔变换，有$\tag{3} \sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k} = x_n\sum_{k=n}^{n+p}{y_k} +\sum_{k=n}^{n+p-1}{(x_k-x_{k+1})\sum_{i=n}^k{y_i}}$k=n∑n+p​xk​yk​=xn​k=n∑n+p​yk​+k=n∑n+p−1​(xk​−xk+1​)i=n∑k​yi​(3)由等式(3)$\tag{4} |\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| \le |x_n||\sum_{k=n}^{n+p}{y_k}| + \sum_{k=n}^{n+p-1}{|x_k-x_{k+1}||\sum_{i=n}^k{y_i}|}$∣k=n∑n+p​xk​yk​∣≤∣xn​∣∣k=n∑n+p​yk​∣+k=n∑n+p−1​∣xk​−xk+1​∣∣i=n∑k​yi​∣(4)
定理9.16(狄利克雷判别法) $\{x_n\}${xn​}和$\{y_n\}${yn​}是两个实数列，如果$\{x_n\}${xn​}单调且极限为0，$\{y_n\}${yn​}的部分和序列有界，那么级数$\sum_{n=1}^\infty{x_ny_n}$∑n=1∞​xn​yn​收敛
定理9.17(阿贝尔判别法) $\{x_n\}${xn​}和$\{y_n\}${yn​}是两个实数列，如果$\{x_n\}${xn​}单调有界，级数$\sum_{n=1}^\infty{y_n}$∑n=1∞​yn​收敛，那么级数$\sum_{n=1}^\infty{x_ny_n}$∑n=1∞​xn​yn​收敛
我们仅证明狄利克雷判别法，阿贝尔判别法的证明是类似的。

证：
设$\{y_n\}${yn​}部分和序列的界是$M>0$M>0，那么，对任意的正整数$n$n和$p$p，有$\tag{5} |\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| \le 2M|x_n| + 2M\sum_{k=n}^{n+p-1}{|x_k-x_{k+1}|}\\ \le 2M|x_n|+2M|x_{n+p}-x_n|\\ \le 2M(2|x_n|+|x_{n+p}|)$∣k=n∑n+p​xk​yk​∣≤2M∣xn​∣+2Mk=n∑n+p−1​∣xk​−xk+1​∣≤2M∣xn​∣+2M∣xn+p​−xn​∣≤2M(2∣xn​∣+∣xn+p​∣)(5)其中第二个不等号由单调性的得到，对任意的$\varepsilon>0$ε>0，存在正整数$N$N，$n\ge N$n≥N时，$|x_n|<\frac{\varepsilon}{6M}$∣xn​∣<6Mε​，由不等式(5)$|\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| <\varepsilon$∣k=n∑n+p​xk​yk​∣<ε由柯西准则，级数$\sum_{n=1}^\infty{x_ny_n}$∑n=1∞​xn​yn​收敛

阿贝尔判别法的证明也是类似的，这里不证。