数据校验码(奇偶校验码、循环校验码、海明码)

文章目录

• 基本概念
• 奇偶校验码
• 循环冗余校验码
• 海明校验码

基本概念

码距：一个编码系统中，任意2个合法码字之间的码距的最小值称为该编码系统的码距。

000和001，码距为1

根据信息论基本原理，码距d与校验码检错和纠错能力如下：
(1) d>=e+1: 可检测e个错误
(2) d>=2t+1: 可纠正t个错误
(3) d>=e+t+1: 当e>=t， 可检测e个错误并纠正t个错误。

奇偶校验码

$D_{奇}= \overline{D_{1}\bigoplus D_{2} \bigoplus D_{3}\bigoplus D_{4}…\bigoplus D_{n}}$D奇​=D1​⨁D2​⨁D3​⨁D4​…⨁Dn​​
$D_{偶}= D_{1}\bigoplus D_{2} \bigoplus D_{3}\bigoplus D_{4}…\bigoplus D_{n}$D偶​=D1​⨁D2​⨁D3​⨁D4​…⨁Dn​
码距由1增加到2，奇偶校验是一种错误检错码

原编码	奇校验	偶校验
0000	0000 1	0000 1
0010	0010 0	0010 1
1100	1100 1	1100 0
1010	1010 1	1010 0

循环冗余校验码

1.$N=k+r\leqslant 2^r-1$N=k+r⩽2r−1，k是有效信息位，r是校验信息位
2.生成多项式G(x)

3.模2运算

• +/-：异或逻辑
• ×：模2加求部分积之和

• ÷：永不借位。当部分余数的首位为1时，商为1；当部分余数的首位为0时，商为0

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例如对4位信息1100进行校验

1.由$N=k+r\leqslant 2^r-1$N=k+r⩽2r−1的关系可以计算出r的最小值为3
2.选择生成多项式为G(x)=1011
3.发送方：用得到的余数替换编码中的最后r位即可得到对应的CRC编码，即1100000 --> 11000101

4.接受方：做模2运算

• 无错，余数为0，得到信息位1100
  
• 有错，余数非0，根据表查询纠错
  
  当然，这个过程是循环的，如果没有表，也可以通过模运算次数来判断第几位出错

海明校验码

1.确定校验位数

2.确定校验位置，规定校验位$K_{i}$Ki​在海明码位号为$2^{i-1}$2i−1上

3.计算校验位Pi

数据位	校验位
D1	K1、K2
D2	K1、K3
D3	K2、K3
D4	K1、K2、K3
D5	K1、K4
D6	K2、K4
D7	K1、K2、K4
D8	K3、K4
D9	K1、K3、K4
D10	K2、K3、K4
D11	K1、K2、K3、K4
D12	K1、K5

对于多异或结构：
奇数个1最终值为1；偶数个1最终值为0
$K_{1}= D_{1}\bigoplus D_{2}\bigoplus D_{4}\bigoplus D_{5}\bigoplus D_{7}\bigoplus D_{9}\bigoplus D_{11}\bigoplus D_{12}$K1​=D1​⨁D2​⨁D4​⨁D5​⨁D7​⨁D9​⨁D11​⨁D12​
$K_{2}= D_{1}\bigoplus D_{3}\bigoplus D_{4}\bigoplus D_{6}\bigoplus D_{7}\bigoplus D_{10}\bigoplus D_{11}$K2​=D1​⨁D3​⨁D4​⨁D6​⨁D7​⨁D10​⨁D11​
$K_{3}= D_{2}\bigoplus D_{3}\bigoplus D_{4}\bigoplus D_{8}\bigoplus D_{9}\bigoplus D_{10}\bigoplus D_{11}$K3​=D2​⨁D3​⨁D4​⨁D8​⨁D9​⨁D10​⨁D11​
$K_{4}= D_{5}\bigoplus D_{6}\bigoplus D_{7}\bigoplus D_{8}\bigoplus D_{9}\bigoplus D_{10}\bigoplus D_{11}$K4​=D5​⨁D6​⨁D7​⨁D8​⨁D9​⨁D10​⨁D11​
$K_{5}=D_{12}$K5​=D12​

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例如对1011000进行检验

1.由公式$N=k+r\leqslant 2^r-1$N=k+r⩽2r−1可知：r=4，k=7，那么N=r+k=11
2.发送方：进行检验后最大为K4，可计算得：K1=1，K2=0，K3=1，K4=0。所以发送的海明码为：1010101

3.接收方：

• 无错，$S_{1}S_{2}S_{3}…S_{n}=000…0$S1​S2​S3​…Sn​=000…0
  
• 有错，错误1位
  
  
• 有错，错误2位。海明码错误两位时，可以纠正一位的错误