信号与系统（1） - 信号
1. 什么是信号？
按照书上的定义，信号是一个随时间变化的物理量，比如声音信号，脑电波信号等。这个定义中，强调信号的变化性, 物理性和时间性。实际上，信号的应用范围在不断扩大，对应的定义也随之扩展， 诸如股票指数、人口等也逐渐进入信号处理的范围。
首先信号可以是一个随时间不变化的量，比如一个静态的图片，它承载的信息是信号的一种，但如果不进行传输，其信号量是静态不变的。其次，信号可以是一个不随时间而变化的量，比如图像信号，是基于坐标系而变化的量，而非时间。除此之外，如上所述，诸如股票信息，人口统计的等信息，他们不具备物理性，但也承载着信息，可以对其进行处理。
如果给信号下达一个非常严谨的定义，会大加大处理的复杂程度。所以这个定义是为了方便理解概念相关的物理概念，以及便于叙述的定义。
2. 如何描述信号？
在研究信号之前，需要将信号进行数学表示或数学描述，通过数学语言反应信号的特征，比如幅值，周期，快慢（频率），组成成分（频域信号）等等。一般而言，信号可以通过时间的描述——时域，以及在频率上的描述——频域两种方法进行表示。
时域描述即将信号量建模为关于时间的函数，比如 f ( x ) = A s i n ( ω t ) f(x) = Asin(\omega t) f(x)=Asin(ωt) 等等。而频域描述则将信号表示为关于频率的数学关系，比如一个信号中含有 ω \omega ω , 2 ω 2\omega 2ω 以及 4 ω 4\omega 4ω 的频率分量等。频域中往往关注信号的频带范围，即允许信号通过的频率范围，以及组成信号的频率分量。这样的表示主要通过傅里叶变换对实现。
信号的频域表示为许多研究带来了方便，比如麦克风收音时会将人声和环境噪音一起收入，通过频域表示信号，可以移除和噪声有关的频率分量，从而使人声更加清晰。
3. 如何分类信号？
为什么要对信号进行分类？
有时候一些信号研究方法只适应于一部分具备特定性质的信号，所以信号的分类有助于使信号的研究过程更清晰和简便。
注意：
- 实际中绝对的周期信号是不存在的，往往只需要很长的时间内是周期信号即可。
- 离散信号可以通过对连续信号灯的取样获得。取样就是将连续信号按照一定的时间间隔取值。时间间隔的长短可以用采样频率 f s = ω s 2 π f_{s} = \frac{\omega_{s}}{2\pi} fs=2πωs决定。
- 能量信号有限，比如一个时间上只在0到T有意义，且幅值为1的信号。功率信号有限，比如一个连续周期的信号 sin ( t ) \sin(t) sin(t)，取这个信号的一个周期计算其功率，因为其功率在每个周期都是一样的，所以整个时间范围的总能量除以总时间，其功率是有限且非零的。
4. 信号的简单计算和处理
| 运算 | 说明 |
|---|---|
| 加减乘除 | 高中知识 |
| 延时或平移 | f ( t ) → f ( t − t 0 ) f(t) \rightarrow f(t-t_{0}) f(t)→f(t−t0)，这本质上是一个延时信号，延时时间为 t 0 t_{0} t0。 |
| 翻折 | f ( t ) → f ( − t ) f(t) \rightarrow f(-t) f(t)→f(−t)，将信号以 y y y 轴进行翻折，比如将一段音频倒着播放。 |
| 尺度变换 | f ( t ) → f ( a t ) f(t)\rightarrow f(at) f(t)→f(at)，本质上是对信号进行快放或慢放，却绝于|a|是＞1还是|a|＜1。注意：信号快放时，其频率也对应增加，信号慢放时，其频率对应变小。所以在电脑上使用软件对音频进行快放时，往往声音会变得更加尖锐，反之慢放时，声音会变得更加低沉 |
| 以及标量乘法 | f ( t ) → a f ( t ) f(t) \rightarrow af(t) f(t)→af(t) ，本质上是对信号的放大或衰减，通常使用放大器对信号进行放大。 |
在计算信号时，可以遵循先尺度，后翻折，再平移的顺序进行变换，并且变换是针对变量 t t t 进行的变换。
比如：
将
f
(
t
)
f(t)
f(t)变换为
f
(
3
−
4
t
)
:
f(3-4t):
f(3−4t):：
f
(
t
)
→
f
(
4
t
)
→
f
(
−
4
t
)
→
f
[
−
4
(
t
−
3
4
)
]
f(t)\rightarrow f(4t) \rightarrow f(-4t) \rightarrow f[-4(t-\frac{3}{4})]
f(t)→f(4t)→f(−4t)→f[−4(t−43)]