FFT学习小记

先从复数开始

复数的定义
1.$i=\sqrt{-1}$i=−1​
2.形如 $z=a+bi$z=a+bi 的数,其中 $a$a 为实部, $bi$bi 为虚部.
复平面
简单的说,复平面就是一个平面直角坐标系.
只不过它的 $x$x 轴为 $a$a ,而 $y$y 轴为 $b$b .
比如说设两个虚数 $z1=3+i$z1=3+i , $z2=2+2i$z2=2+2i .
$z1*z2=(3+i)*(2+2i)=6+8i-2=4+8i$z1∗z2=(3+i)∗(2+2i)=6+8i−2=4+8i

根据图像可知,复数相乘的法则:
长度相乘,辐角(与实部的夹角)相加.

单位复数根

1.单位复数根
n次单位复数根是满足 $\omega^n=1$ωn=1 的复数 $\omega$ω ,这些根恰好有 $n$n 个.
通俗的说, $\omega^n$ωn就是把一个单位圆(半径为1且圆心为原点)n等分.
从0开始逆时针标号,第k个记为$\omega_n^k$ωnk​ .
如图

每个单位复数根都可以通过 $e$e 或者三角函数求出.
$\omega^k_n=cos \frac{k}{n} 2\pi + i sin \frac{k}{n}2\pi$ωnk​=cosnk​2π+isinnk​2π
或者
$e^{\frac{2{\pi}i}{n}}$en2πi​
显而易见
$\omega^j*\omega^k=\omega^{(k+j)\ \% \ n}$ωj∗ωk=ω(k+j) % n (相加)
$\omega^{k+\frac{n}{2}}_n=-\omega^k_n$ωnk+2n​​=−ωnk​ (倒过来)

2.消去引理
对于任意整数$n,k,d>=0$n,k,d>=0
$\omega^{dk}_{dn}=\omega^k_n$ωdndk​=ωnk​
证明:直接算辐角,可以发现是相等的.

3.折半引理(尤其重要,特别是关于时间复杂度的证明)
如果 $n>0$n>0 且 $n$n 为偶数,那么 $n$n 个 $n$n 次单位复数根的平方的集合就是 $n/2$n/2 个 $n/2$n/2 次单位复数根的集合.
对任意非负整数 $k$k ,有 $(\omega^k_n)^2=\omega^k_{n/2}$(ωnk​)2=ωn/2k​
证明:同样与辐角有关,根据复数乘法的法则可以证明.

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